روش‌های غیرپارامتریک، دسته‌ای بسیار مهم از روش‌های حل مسائل بهینه‌سازی چندهدفه هستند که در سال‌های اخیر مورد توجه قرار گرفته‌اند. در این دسته، روش‌های مبتنی بر گرادیان که از مشتقات دوم استفاده نمی‌کنند، از اهمیت ویژه‌ای برخوردارند. یکی از چالش‌های اساسی در بهینه‌سازی چندهدفه، موضوع جست‌وجوی خطی است. در واقع، چالش موجود در جست‌وجوی خطی از این جهت است که، اولاً تعداد زیادی نامساوی باید به‌طور همزمان برقرار باشند و ثانیاً به دلیل تقابلی که بین اهداف وجود دارد، طول‌گامی که از این جست‌وجوی خطی به دست می‌آید، معمولاً بسیار کوچک است. برای حل این مشکل، در سال 2016 مروتی و همکاران تعمیمی از روش‌های بارزیلای-بوروین را برای حل مسائل بهینه‌سازی چندهدفه ارائه کردند. این روش نسبت به سایر روش‌های مبتنی بر گرادیان، از دقت و سرعت بیشتری برخوردار بوده است. چنین بهبودی سبب جلب توجه پژوهشگران به تحقیق در این زمینه شده است. اخیراً تعمیم دیگری از روش بارزیلای-بوروین ارائه شده است. در این روش، به هر یک از توابع هدف، ضریبی به‌طور خاص اختصاص می‌یابد. هدف از اختصاص این ضرایب، کاهش تاثیر تقابل بین توابع هدف در کوچک‌سازی طول‌گام است. نویسندگان مقاله، روش پیشنهادی خود را با روش مروتی و همکاران مقایسه کردند. تحلیل و نتایج عددی آن‌ها نشان می‌دهد که روش ارائه‌شده به‌طور قابل توجهی نسبت به روش مروتی و همکاران برتری دارد. با این حال، در این پایان‌نامه این موضوع با دقت بیشتری مورد کنکاش قرار گرفته و دیده می‌شود که تحلیل مذکور مبتنی بر نوعی همگرایی کاذب برای روش پیشنهادی و مقایسه نادرست این دو روش است. در واقع، ثابت می‌شود برخلاف ادعای مطرح شده روش مروتی و همکاران نسبت به روش پیشنهادی برتری قابل توجهی دارد. این برتری چه در مسائل آزمون مقاله مذکور و چه با استفاده از مسائل آزمون بسیار گسترده‌تر نشان داده شده است‎.

روش‌های تکراری برای حل مسائل بهینه‌سازی چند‌هدفه نسبت به مسائل تک‌هدفه دارای پیچیدگی محاسباتی بیشتری هستند. بر این اساس، روش‌های مبتنی بر گرادیان که از مشتقات مراتب بالاتر استفاده نمی‌کنند، برای این منظور مطلوب‌تر هستند. از طرف دیگر این روش‌ها سرعت همگرایی پایین‌تری دارند. یکی از ایده‌های مهم برای رفع این مشکل استفاده از اطلاعات مربوط به تکرار‌های قبل در کنار گرادیان تکرار فعلی برای ساختن جهت مورد نظر می‌باشد. ابتدایی‌ترین روش‌های مبتنی بر این ایده، روش‌های گرادیان مزدوج می‌باشند. در این راستا این پایان‌نامه به برخی روش‌ها می‌پردازد که با بکارگیری پارامتر‌هایی مناسب و استفاده از اطلاعات تکرار‌های قبلی فرآیند‌هایی نسبتا سریع برای حل مسائل بهینه‌سازی چند‌هدفه به‌دست می‌دهد. ضمن بررسی همگرایی این روش‌ها برتری محاسباتی آن‌ها با استفاده از برخی مسائل آزمون استاندارد در بهینه‌سازی چند‌هدفه نشان داده می‌شود.  

   با توجه به نقص‌ها و مشکلات زیادی که روش‌های اسکالر سازی برای حل مسائل بهینه‌سازی چند‌هدفه دارند‏، در سال‌های اخیر گرایش زیادی به استفاده از روش‌های غیر‌پارامتری که تعمیمی از روش‌های تکراری در بهینه‌سازی تک هدفه هستند‏، ایجاد شده است. با این حال نسخه‌های شتاب‌یافته این الگوریتم‌ها کمتر مورد بررسی قرار گرفته است. در این پایان‌نامه یک روش گرادیان پروکسیمال شتاب ‌یافته برای مسائل بهینه‌سازی چند‌هدفه مورد بررسی قرار می‌گیرد که در آن هر تابع هدف مجموع یک تابع محدب و مشتق‌پذیر و یک تابع محدب و سره است. این روش یک تعمیم از روش گرادیان پروکسیمال شتاب‌یافته ‎‎‎‎‎FISTA‎ برای حل مسائل بهینه ‌سازی اسکالر می‌باشد. ابتکاری که در این تعمیم صورت گرفته است‏، بکارگیری جمله‌ای در تابع هدف است که دارای اثراتی کارا و مفید در بهینه‌سازی چند‌هدفه است‏، حال آنکه با تقلیل این روش به حالت تک‌هدفه جمله مذکور بی‌تاثیر است. با استفاده از نمایش دوگان زیر مساله یافتن جهت، روشی کارا برای حل آن ارائه می ‌شود. ضمن بررسی همگرایی الگوریتم‏، عملکرد محاسباتی در مقایسه با روش‌های مشابه آن با استفاده از نتایج عددی نشان داده می‌شود

در این پایان نامه مروری بر انواع روش های تقریب برای تجزیه مقادیرتکین[1] برای یک ماتریس را خواهیم داشت.تجزیه SVD ،از اساسی ترین تجزیه های جبر خطی عددی به شمار می رود که روی ماتریس های مستطیلی m*n بکار گرفته می شود که امروزه در دنیای پردازش تصویر در زمینه ی فشرده سازی کاربرد فراوانی دارد.تجزیه مقدار تکین منجر می شود تا تصویر را با ابعادی کوچکتر ذخیره کنیم به طوریکه اطلاعات اصلی آن همچنان حفظ شوند.برای فشرده سازی تصویر با استفاده از تجزیه SVD از تقریب ماتریس استفاده می کنیم که در فصل دوم این پایان نامه تقریب و فشرده سازی ماتریس را شرح داده ایم.تقریب ماتریس منجر می شود تا تصویر را با یک مجموعه ی کوچکتر و در عین حال اصلی تر از مقادیر تکین مشاهده کنیم که روش های مختلفی برای این تقریب مانند نمودار Scree،قانون گاتمن_کایزر،آستانه سخت مقادیر تکین و روش های مبتنی بر آنتروپی،تحلیل و ارزیابی می شوند. در پایان نشان می دهیم که هرکدام از این روش ها در شرایط خاصی عملکرد بهینه ای دارند و بسته به ویژگی های داده ها،انتخاب مناسب یک روش، می تواند بهینه ترین مقادیر منفرد را برای تحلیل و پردازش حفظ کند.    [1] Singular Value Decomposition      

یک خانواده مهم از این اصلاحات روش های گرادیان با تآخیرمی باشد. روش های گرادیان با تاخیر (GMR) یک روش تکراری غیر یکنوا است که برای حل معادلات خزی بزرگ متقارن و همچنین معین مثبت توسعه یافته است. این روش تعمیمی از روش های تندترین شیب و برزیلیا-بوروین است.در این پایان نامه همگرایی R-خطی این روش اثبات می شود و همچنین برخی از روش های گرادیان دوری مورد مطالعه قرار می گیرد.بررسی طول گام یوان و خواص طیفی روش های گرادیان از دیگراهداف این پایان نامه می باشد.

ترکیب فریم در فضاهای هیلبرت تفکیک پذیر،اخیرا توسط برموث و همکارانش برای مقابله با برخی مشکلات در پردازش سیگنا توزیع شده ، و شبکه های حسگر بی رسیم معرفی شده است. در این مقاله مفهوم اضافه در فریم های ترکیب شده را مطالعه کرده،واثبات می کنیم که هریک از دو فریمی که در یک فضای هیلبرت تفکیک پذیر ترکیب می شوند، اضافه یکسانی دارند  

  

در این پایان نامه برخی مفاهیم جدید از شبه کارایی و شبه کارایی سره برای مسائل بهینه سازیچندهدفه ارائه می شود. بر اساس این مفاهیم، یک بیان یکپارچه و جامع از کارایی تقریبیو شبه کارایی تقریبی معرفی می گردد که کلیه تعاریف موجود پیشین را در برمی گیرد.مفهوم جدید از شبه کارایی منجر به ارائه یک بیان جامع از زیردیفرانسیل تعمیم یافته برایتوابع برداری می شود که بیشتر تعاریف موجود، از زیردیفرانسیل برای این توابع را بهشکل یکپارچه بیان می کند. این مفهوم از زیردیفرانسیل توسط روش های اسکالرسازیبه مفاهیم زیردیفرانسیل برای توابع اسکالر مرتبط می گردد. بر اساس زیردیفرانسیلتعمیم یافته فوق، برخی شرایط بهینگی برای جواب های کارای تقریبی بیان می شود. دراین پایان نامه همچنین به برخی شرایط بهینگی برای جواب های کارای سره تقریبی درمسائل بهینه سازی چندهدفه که در آن ها مخروط معیار و مخروط نظیر قیود به صورتچندوجهی است، پرداخته می شود. این شرایط دو دسته هستند: دسته اول شامل شرایطبهینگی غیرخطی است که اساس آن تابع لاگرانژ غیرخطی اسکالر می باشد و دسته دومشامل شرایط بهینگی کان-تاکر است که بر اساس اسکالرسازی خطی تحت شرایط تحدبتعمیم یافته تولید می شود.کلمات کلیدی:بهینه سازی چندهدفه، شبه کارایی، جواب های تقریبی، اسکالرسازی خطی، اسکالرسازیغیرخطی، زیردیفرانسیل برداری، مجموعه کورادیانت، شرایط بهینگی.   

خانواده روش‌های گرادیان از مهم‌ترین روش‌ها برای حل مسائل بهینه‌سازی نامقید محسوب ‌می‌شوند. روش‌‌های گرادیان طیفی تعمیمی‌ از روش‌های گرادیان هستند که با هدف غلبه بر برخی از مشکلات روش‌های گرادیان و تولید روش‌های کارا‌تر ارائه شده‌اند. هدف نخست این پایان‌نامه معرفی و مطالعه یک خانواده جدید از روش‌های گرادیان طیفی است. این خانواده یک طول گام مبتنی بر یک ترکیب محدب از طول گام‌های بلند و کوتاه برزیلا و بروین را مورد استفاده قرار می‌دهد. همچنین نشان داده می‌شود که هر عضو از این خانواده دارای برخی خواص مناسب شبه‎‏‌نیوتونی است. در ادامه این رساله خواص همگرایی الگوریتم جدید مورد بررسی قرار می‌گیرد و نشان داده می‌شود که این خانواده برای توابع مجذور‏‎‏ی‎‎ ‎$ -2 $‎بعدی‏‏، دارای همگرایی ‎$ -‎R‎ $‎زبر‌خطی و برای توابع عمومی مجذوری از بعد ‎$ n $‏،‎‏‎‎‎‏ دارای همگرایی ‎$ -‎R $‎خطی است. در قسمت دوم این رساله برخی از روش‌های گرادیان دوری مورد مطالعه قرار می‌گیرد و یک روش گرادیان دوری جدید ارائه می‌شود و خواص همگرایی آن مورد بررسی قرار می‌گیرد.  

ی? ? از مفاهیم مهم از نظر تئوری و محاسبات ? مفهوم کارایی سره در بهینهسازی چندهدفه است کهدر آن هدف بررس ? جوابهایی است با تبادلات کراندار بین توابع هدف. از طرف دی?ر در فرآیندحل مسائل بهینهسازی چندهدفه، به ناچار با جوابهای تقریبی سروکار داریم؛ بنابراین لازم استکه خواص این گونه جوابها و جوابهای تقریبی مسائل اس? الر مربوطه مورد بررس ? قرار گیرد. براین اساس در این پایاننامه ابتدا تعمیم ? از مفهوم کارایی سره به مسائل ? با تعداد نامتناه ? تابع هدفبررس ? م?شود. مشخص م?گردد که برخ ? نتایج برای مسائل چندهدفه معمول ? را نم?توان به اینمسائل تعمیم داد. همچنین برخ ? روش های اس? الرسازی مانند مجموع وزین و چبیشف تعمیم یافتهنظیر نقاط کارای سره در این مسائل ارائه م?شود. بعلاوه اینکه ی? روش اس? الرسازی ی? پارچهمبتن ? بر روش اس? الرسازی جهت ? پاس? ولت??سرافین ? برای یافتن جوابهای کارا، کارای ضعیف،کارای سره و همچنین جوابهای تقریبی مشابه ارائه م?گردد. در تحلیل این روش ضمن ارائه خواصکارا  

معماری مجازی­سازی توابع شبکه به معنی ارائه سرویس­های مختلف شبکه بدون نیاز به سخت­افزار و عدم وابستگی به آن است. مجازی­­سازی توابع شبکه حوزه­ی جدیدی در شبکه است که با کمک آن می­توان دستگاه­های سخت­افزاری را به صورت مجازی و نرم­افزاری پیاده­سازی کرد. مجازی­سازی توابع شبکه، توابع شبکه مانند پروکسی­ها، دیواره آتش­ها و تعادل بار­ها و دیگر موارد را ارتقا می­دهد. به عبارت دیگر این معماری با استفاده از تکنولوژی مجازی­سازی قادر است دستگاه­های سخت­افزاری را به ماژول­های نرم­افزاری که به عنوان توابع شبکه مجازی معروف­اند تبدیل کند و سرویس مورد­نظر کاربر را تامین کند. ارائه سرویس درخواست شده توسط کاربر در شبکه،   توسط دنباله­ای از توابع شبکه مجازی، که به زنجیره توابع سرویس شهرت دارند صورت می­گیرد. یکی از چالش­های اصلی نیز در توسعه­ی معماری مجازی­سازی توابع شبکه، تخصیص منابع به سرویس­های شبکه تقاضا شده در زیرساخت­های شبکه مبتنی بر مجازی­سازی توابع شبکه است. این چالش مسئله تخصیص منابع مجازی­سازی توابع شبکه نامیده شده است. از این رو در این تحقیق مسئله تخصیص منابع به توابع شبکه مجازی در معماری مجازی­سازی توابع شبکه با استفاده از تکنیک­های برنامه­ریزی ریاضی حل شده است. در این تحقیق برای مسئله تخصیص منابع به توابع شبکه مجازی یک مدل برنامه­ریزی خطی عدد صحیح مختلط چند­هدفه ارائه می­شود. در این مدل قیدهای مربوط به ظرفیت منابع گر­ه­ها و اتصالات و قیدهای تاخیر موردنظر است. همچنین توابع هدف در این تحقیق عبارت­اند از: افزایش جریان­های پذیرفته شده در شبکه، کاهش هزینه­های منابع گره­ها (شامل تعداد هسته­های CPU و میزان حافظه)، کاهش هزینه­های سرمایه­ای، کاهش هزینه­های عملیاتی و بررسی زمان اجرا. این قیدها و توابع هدف توسط توابع ریاضی بصورت دقیق و صریح بیان می­شوند. مدل ریاضی پیشنهادی با حل­کننده سیپلکس پیاده­سازی و حل شده است. برای ارزیابی مدل ریاضی پیشنهادی، چندین توپولوژی مختلف در نظر گرفته شده است. هزینه بهینه تحت تغییر پارامترهایی از قبیل طول زنجیره توابع سرویس، تعداد جریان­ها، طول جریان، میزان منابع گره­ها، تعداد گره­ها و تعداد توابع شبکه مجازی ارزیابی می­شود و نهایتاً افزایش زمان اجرا تحت تغییر طول زنجیره توابع سرویس، تعداد گره­ها و تعداد توابع شبکه مجازی بررسی می­شود. نتایج عددی این تحقیق نشان از کارایی مدل در تخصیص منابع به توابع شبکه مجازی را دارد. کلمات کلیدی: معماری مجازی­سازی توابع شبکه، توابع شبکه مجازی، تخصیص منابع، برنامه­ریزی ریاضی، برنامه­ریزی خطی عدد صحیح مختلط   

  در سال‌های اخیر، یافتن نزدیک‌ترین تصویر برای واحدهای تصمیم‌گیری تحت ‌ارزیابی (DMU) به طور قابل توجهی توجه محققان را به خود جلب کرده است و مقالات متعددی در این زمینه منتشر شده است. در برخی از این مقالات، اندازه کارایی مربوطه در خاصیت یکنوایی قوی صدق نمیکند. از آنجایی که این ویژگی نقش بسیار مهمی در مقایسه و رتبه‌بندی DMU ها دارد، ارائه روش‌هایی که ضمن یافتن تصویر کارا، اندازه کارایی مربوطه در آنها قویا یکنوا باشد، بسیار مطلوب است. به طور عمده تحقیقات انجام شده در این زمینه به دو دسته کلی زیر تقسیم می شوند: الف) روش هایی که تمام وجوه کارای با بعد کامل یا نسخه های توسعه یافته آنها را بدست می آورند و سپس فاصله DMU تحت ارزیابی را تا این وجوه بدست می آورند. ب) روش هایی که به جای به دست آوردن وجوه کارآمد تمام بعدی، با استفاده از برخی مدل های برنامه ریزی خطی اعداد صحیح مختلط، به طور ضمنی فاصله DMU تحت ارزیابی تا مرز کارای قوی را محاسبه می کنند. در هر دو مورد، بر اساس فاصله به‌دست‌آمده، یک اندازه کارایی قویا یکنوا معرفی می‌شود. این پایان نامه با استفاده از برخی نتایج عددی واقعی به بررسی دقیق این روش ها می پردازد.

  در این پایان نامه، دو روش برای حل دستگاه معادلات غیرخطی با ابعاد بزرگ مورد بررسی قرار می گیرد.و (FR) روش اول یک روش گرادیان مزدوج ترکیبی بر مبنای ترکیب محدب پارامترهای فلیچر-ریوزمی باشد. همگرایی سراسری این الگوریتم بحث شده است. نتایج عددی، (PRP) پولاک-ریبیر-پولیاککارایی و دقت روش برای مسائل با ابعاد بزرگ نشان می دهد. در روش دوم، یک روش گرادیان مزدوجطیفی بر مبنای روشتصویری برای دستگاه معادلات غیرخطی یکنواخت به کار گرفته شده است. همچنینبرای حل مسائل در مقیاس بزرگ، این روش مناسب بوده و همگرایی سراسری حاصل شده است.

  چکیدهخانواده روش‌های گرادیان یک خانواده بسیار مهم از روش‌های ارائه شده برای حل مسائل بهینه‌سازی نامقید می‌باشد که دارای خواص همگرایی بسیار مناسب است. هدف این پایان‌نامه تعمیم مناسب از روش‌های‌ گرادیان و ارائه‌ی الگوریتم‌های جدید و موثر است.بر این پایه، ما در این رساله دو تعمیم از روش گرادیان ارائه خواهیم کرد. در اولین پیشنهاد، یک طول‌گام اصلاحی مناسب برای روش‌های گرادیان معرفی می‌گردد و در ادامه با ترکیب روش‌های گرادیان با روش پیکارد- مان یک روش گرادیان ترکیبی معرفی و مورد بررسی قرار می‌گیرد. با استفاده از این دو تعمیم می‌توان چندین روش گرادیان کاهشی شتاب یافته را ارائه داد. کلمات کلیدی:  بهینه‌سازی نامقید، جهت کاهشی، روش‌گرادیان، روش‌های جستجوی خطی، طول‌گام چندگامی، همگرایی سراسری.

   دستگاه معادلات غیرخطی یکی از مسائل مهم و پرکاربرد در ریاضیات است. روش‌های متفاوتی برای حل این مسائل تاکنون ارائه شده است. از میان روش‌های تکراری برای حل این مسائل، می‌توان به روش نیوتون، روش‌های شبه نیوتن و نسخه‌های تغییر یافته آن‌ها اشاره کرد.یکی از نقاط ضعف مهم این روش‌ها بخصوص برای مسائل با ابعاد بزرگ، نیاز به محاسبه ماتریس ژاکوبی در هر تکرار و حل دستگاه معادلات خطی متناطر است. تلاش برای ارائه روش‌های بدون ژاکوبی برای حل دستگاه‌های معادلات غیرخطی در سال‌های اخیر همواره مورد توجه محققان بوده است. در حالات خاص که دستگاه معادلات دارای خواص ویژه می‌باشد، الگوریتم‌های بسیار موثری معرفی شده‌اند. یکی از این رده‌های خاص، دستگاه معادلات غیرخطی یکنوا می‌باشد که روش‌های حل متفاوتی برای آن ارائه شده است. یکی از مهمترین رده های موجود برای حل این مسائل، الگوریتم‌های   مبتنی بر تصویر است که بواسطه نیاز به حافظه کم، در حل دستگاه معادلات غیرخطی مقیاس بزرگ یکنوا کاربردهای زیادی دارند.   هدف این پایان‌نامه، ارائه دو خانواده جدید از الگوریتم‌های بدون مشتق مبتنی بر تصویر است که از جهاتی شبیه جهات گرادیان مزدوج سه‌جمله‌ا‌ی استفاده می کنند جاییکه ثابت می شود جهات تعریف شده در شرایط کاهش کافی صدق می کنند. نتایج عددی به دست آمده نشان می‌دهد که این روش‌ها برای حل این نوع از مسائل موثر و کارا هستند.

ازجمله مشکلاتی که روش تکراری نیوتن برای حل مسائلبهینه سازی نامقیدداردمحاسبه ماتریس هسیان است 

امروزه مخاطرات زیست محیطی ناشی از سوخت­های فسیلی و همچنیندستیابی به منابع انرژی لازم و کافی برای توسعه به یکی از مهم­ترین دغدغه­­هایکشورها و دولت­مردان تبدیل شده است؛ تا جایی­که هر تحولی در حوزه انرژی تاثیراتبسزایی بر مناسبات بین­المللی می­گذارد. در این پژوهش، با تاکید بر اثر شدتانرژی به­عنوان معیار کارایی انرژی به بررسی ارتباط بین رشد اقتصادی و مصرف انرژی درکشورهای اوپک در فاصله زمانی 2014-1980 پرداخته می­شود. این تحقیق با هدف بررسی اینکهآیا تاثیر رشد اقتصادی بر مصرف انرژی با توجه به میزان شدت انرژی متفاوت است یا خیر،انجام شده است. این مطالعه در ابتدا به بررسی رابطه علّی میان رشد اقتصادی و مصرفانرژی می­پردازد؛ نتایج وجود یک رابطه علّی یک­طرفه از رشد اقتصادی به مصرف انرژیرا در کشورهای اوپک نشان می­دهد. سپس با استفاده از یک مدل رگرسیون پانل آستانه­ایپویا، نقش و تاثیر شدت انرژی بر رابطه بین مصرف انرژی و رشد اقتصادی کشورهای عضواوپک بررسی می­شود. مطابق با برآورد مدل رگرسیون پانل آستانه­ای پویا، سطح آستانه­ایشدت انرژی 27/7 برآورد شده است. در سطوح بالاتر از سطح آستانه­ای رشد اقتصادی تاثیر مثبتو معنی­داری برمصرف انرژی دارد. با این حال ، در سطوح پایین­تر از سطح آستانه­ای رشد اقتصادی تاثیرمثبت و بی­معنایی بر مصرف انرژی داشته است. بدون در نظرگرفتن متغیرهای کنترل، سطح آستانه­ایشدت انرژی 6/9 برآورد شده است.در سطوح بالاتر از سطح آستانه­ای رشد اقتصادی تاثیر مثبت و معنی­دارو در سطوح پایین­تر از سطح آستانه­ای، رشد اقتصادی تاثیر منفی و بی­معنی بر مصرفانرژی دارد.نتایج این پژوهش برای سیاست­گذاران انرژی و محیط زیست قابل توجه و اهمیت است.

روش های شبه نیوتن قطری 

خانواده الگوریتم‌های گرادیان مزدوج یکی از کاراترین الگوریتم‌های موجود برای حل مسائل بهینه‌سازی نامقید است. این رده از روش‌ها به‌دلیل عدم استفاده از ماتریس هسی و عدم نیاز به ذخیره‌سازی آن، برای حل مسائل بهینه‌سازی نامقید با مقیاس بزرگ بسیار موثر هستند. با توجه به خواص مطلوب این خانواده، مطالعات زیادی روی توسعه این دسته از روش‌ها انجام شده و تاکنون رده‌های متفاوتی از الگوریتم‌های گرادیان مزدوج ارائه شده است. در این پایان‌نامه دو روش گرادیان مزدوج طیفی جدید معرفی و مورد بررسی قرار می‌گیرد. بررسی خواص همگرایی الگوریتم‌های جدید و پیاده‌سازی الگوریتم‌ها از دیگر اهداف این پایان‌نامه است.   

  داده‌های مسائل بهینه‌سازی جهان واقعی اغلب به‌طور کامل مشخص نیستند. دلایل عدم قطعیت داده‌ها شامل: خطای اندازه‌گیری، اطلاعاتنامناسب، تحولات آینده، شرایط واختلالات محیطی است. از نظر عملی گاهی اوقات یک عدم دقت کوچک در داده می‌تواند تاثیرات بزرگی روی جواببهینه گذارد. بر این اساس، استفاده از بهینه‌سازی استواری نادقیق برای حل مسائل بهینه‌سازی با پارامترهای نادقیق امری ضروری است. در بهینه‌سازیاستواری پارامترهای نادقیق متعلق به مجموعه‌ای است که از قبل شناخته شده فرض می‌شود و مرکز توجه روی بدترین حالت از مجموعه پارامترهااست. هدف این است که از شدنی بودن جواب اطمینان حاصل شود و به‌ازای تمام سناریوهای ممکن عملکرد خوبی داشته باشد. مساله نادقیق را می‌توان با استفاده از مساله بهینه‌سازی چندهدفه با کمک روش‌های اسکالرسازی (روش بنسون و روش قید کشسان) حل کرد. این پایان‌نامه بر یک رویکرد یک‌پارچه برای مشخصه‌سازی انواع مختلفی از مفاهیم استواری در بهینه‌سازی چندهدفه تاکید می‌کند. بر اساس نتایج اسکالرسازی خطی و غیر خطی برای روابط ترتیبی مجموعه‌ای با کمک تحلیل فضای تصویر، مجموعه‌های مناسبی از فضای تصویر اسکالرسازی معرفی می‌شود و مشخصه‌های معادلی برای مجموعه ترتیبی استوار مجموعه بالایی‎(‎ مجموعه پایینی، مجموعه‌ای) برای مسائل بهینه‌سازی چندهدفه بیان می‌شود.در ادامه، با استفاده از مساله بهینه‌سازی اسکالر استوار و به‌کارگیری یک بخش معین برای استواری، حالت کلی‌تری از بهینه‌سازی استوار مورد بررسی قرار می‌گیرد که در آن تابع هدف و قیود شاملپارامترهای نادقیق است. به‌علاوه اینکه رابطه بین مساله بهینه‌سازی نادقیق داده شده و تصویر نظیر آن مورد بررسی قرار می‌گیرد. این ایده منجر بهحل یک مساله مین$-$ماکس می‌شود. سرانجام چندین نتایج لازم و کافی بهینگی از جمله شرایط کافی نقطه‌ی زینی برای بهینه‌سازی استوار اسکالر معرفی می‌شود.نتایج به‌دست آمده برای یک مساله‌ی کوتاهترین مسیر به‌کار گرفته می‌شود.

در بهینه‌سازی چند‌هدفه‏، مینیمم‌سازی یا ماکسیمم‌سازی چند تابع هدف مختلف موردنظر است که معمولاً در تضاد و تقابل با یکدیگرند؛ بنابراین‏، فضای هدف مجموعه‌ای از بردارها است. برای مقایسه این بردارها نیازی به یک ترتیب جزئی است. در بیشتر موارد‏، از مخروط‌ها برای تعریف یک ترتیب جزئی استفاده می‌شود. در این پایان‌‏نامه‏، هدف بررسی مسائلی است که در آنها مخروط ترتیبی مورد‌نظر به‌صورت یک مخروط چند‌وجهی است. ابتدا با استفاده از بردار‌هایی خاص‏، از دوگان مخروط چند‌وجهی‏، مسائلی اسکالر برای یافتن نقاط کارا ایجاد می‌شود. این فرآیند اسکالر‌سازی در قالب چند مثال شرح داده می‌شود. در این پایان‌نامه همچنین با استفاده از مخروط‌های کششی که نوع خاصی از مخروط‌های چند‌وجهی هستند و بکارگیری روش‌های اسکالر‌سازی غیر‌خطی جواب‌های کارای سره مشخصه‌سازی می‌شود. مشخصه‌سازی مشابهی برای جواب‌های کارای ضعیف‏، در غیاب تحدب بدست می‌آید. در نهایت‏، برای مسائلی که در آنها‏، قیدها توسط ترتیب مخروطی بیان می‌شوند‏‏، برخی شرایط لازم و کافی بهینگی بر مبنای تابع لاگرانژ معرفی می‌گردد.

  در این پایان‌نامه به بررسی یک روش تعاملی برای حل مسائل چندمعیاره‌ی گسسته پرداخته می‌شود. در این روش از مقایسه‌های دو به ‌دو میان گزینه‌های موجود، به‌منظور یافتن جواب بهین استفاده می‌کنیم.فرض می‌کنیم ‎ m ‎گزینه،   p‎معیار و یک تصمیم‌گیرنده داریم. تصمیم‌گیرنده به‌صورت ضمنی یک تابع مطلوبیت صعودی و شبه‌مقعر در ذهن خود دارد و خواستار بیشینه‌سازی آن است درحالی‌که ممکن است درک روشنی از مفهوم تابع نداشته باشد. از جمله شرایطی که باید در یک روش تعاملی رعایت شود این است که تعداد پرسش‌ها از تصمیم‌گیرنده کم باشد.به‌این منظور برای رتبه‌بندی گزینه‌ها از مخروط‌های محدب استفاده می‌شود. سپس روشی بر مبنای مخروط‌های دوگان، و در نهایت روشی مبتنی بر الگوریتم‌های تکاملی ارائه می‌گردد. این روش‌ها با کاهش تعداد مقایسه و استفاده از نظر تصمیم‌گیرنده جواب بهین را محاسبه می‌کند.

  ی شبه‌نیوتون، یک خانواده بسیار مهم از روش‌ها برای حل بهینه‌سازی نامقید هستند. این روش‌ها بر اساس یک اصلاح روش نیوتون به‌وسیله تقریب ماتریس‌ هسی، توسط یک ماتریس B_{k} در تکرار kامبنا می‌شوند. با وجود مزایای بسیار، این دسته از روش‌ها مشکلاتی را نیز همراه خود دارند. اول اینکه این روش‌ها تنها از اطلاعات مشتق مرتبه اول استفاده می‌نمایند و از مقادیر خود تابع استفاده نمی‌کنند. دوم اینکه در بسیاری از موارد تضمینی برای معین مثبت بودن ماتریس هسی وجود ندارد. هدف ارائه روش‌های شبه‌نیوتن اصلاح شده، غلبه بر مشکلات فوق می‌باشد.در این پایان‌نامه دو خانواده جدید از روش‌های شبه‌نیوتن اصلاح شده مطرح و مورد بررسی قرار می‌گیرد.در بخش اول باایده ارائه یک الگوریتم با خواص همگرایی مناسب برای توابع غیرمحدب و معرفی یک جستجوی خطی از نوع ضعیف ولف، یک الکوریتم  BFGS اصلاح شده معرفی و مورد تحلیل قرار می‌گیرد. در قسمت دوم با تغییر شرایط درونیابی برای تقریب مدل درجه دوم تابع، یک معادله شبه‌تیوتن اصلاح شده جدید معرفی و براساس آن یک الگوریتم از نوع BFGS اصلاح شده ارائه می‌گردد.

در این پایان نامه پس از معرفی نقصان مورد انتظار(ES) بعنوان یک اندازه ریسک اقتصادی به اختصار به بحث پیرامون ویژگی های این اندازه ریسک می پردازیم. این اندازه احتمالی بطورطبیعی از برآورد میانگین p100 درصد بدترین حالات زیان در یک نمونه بازگشتی به پرتفوی پدیدار میشود که p یک سطح اطمینان ثابت است . در ادامه بطور جامع به مرور چند روش شناخته شده محاسبه نقصان مورد انتظار پارامتریک می پردازیم.  

  ?مسالهبرنامهر?زیخطبازهایمسالهایبرنامهر?زیخطاستبادادههایبازهای.کاراساسدر برنامهر?زیخطبازهایعبارتاستازمحاسبهکرانمقاد?ربه?نه?امحاسبهمجموعههمهجوابهای شدنممنکهکاریسختوازنظرمحاسباتپرهز?نهاست.امااگرچندمع?اریبرایپا?داریپا?ه موجودباشد،حلا?نمسالهسادهترمشود. برا?ناساسدرا?نپا?اننامه?روشپا?داریپا?ه ارائهمشود. درفصلسوم،نوعجد?دیازپا?داریدردربرنامهر?زیخطبازهایمعرفخواهدشد.جواب پا?دارنام?دهمشودهرگاهبرایتماممقاد?رمشخصبرایضرا?بتابعهدفومولفههای x مانند ماتر?سضرا?بق?وددربازههایمربوطه،مقاد?رمناسببرایمولفههایبردارسمتراستدربازههای برایمسائلباا?ندادههابه?نباشد. درا?نجاروشبرایبررس x نظ?رموجودباشدبهطوریکه پا?داریدر?نقطهمشخصپ?شنهادشدهاست. دربارهو?ژگهایتوپولوژ?جوابهایبه?ن پا?داربحثمشودوکاربردیازروشمربوطهدرمسائلحملونقلوتغذ?هارائهمشود.ازطرف چونهرمسالهایجواببه?نپا?دارندارد،?روشتقر?ببرای?افتنجواببه?نپا?داردرا?ن مسائلموردبررسقرارمگ?رد. همچن?نا?نمسالهموردبحثوبررسقرارمگ?ردکهچونه?جواببرایهرحق?قسازی بازهایبه?نهاست.باا?ننرشجواببه?نقویتعر?فمشودوروش?افتنا?نجواببرایا?ن مسائلموردبررسقرارمگ?رد. ع?وهبرا?نبهبررسپ?چ?دگمحاسباتبرای?افتنجواببه?ن قویدرمسالهبرنامهر?زیخطبازهایومفهومبه?نن?مقویپرداختهمشود

روش های گرادیان مزدوج یک خانواده مهم برای حل مسائل بهینه سازی نامقید هستند. در این روش ها به دلیل عدم نیاز به استفاده از ماتریس هسی یا تقریب آن، استفاده کم از حافظه ماشین و خواص همگرایی موضعی و سراسری مناسب، به روش هایی بسیار مطلوب برای حل مسائل بهینه سازی نامقید در مقیاس بزرگ تبدیل شده اند. به دلیل این­که این الگوریتم ها به طور معمول فقط از اطلاعات مشتق مرتبه اول تابع هدف استفاده می کنند، بنابران ممکن است همگرایی آنها کند باشد.در این پایان نامه ترکیبی از گرادیان مزدوج مقیاس یافته و روش مجانب متحرک برای حل مسائل بهینه سازی نامقید غیر خطی در مقیاس بزرگ ارائه شده است.در این روش­ها جهت کاهشی مورد استفاده در هر تکرار به وسیله حل زیر مسایل جدایی­پذیر محدب تولید شده توسط جهات­مجانبی تولید می­گردد. همچنین در این پایان نامه با استفاده از روش­های ناحیه اطمینان پارامتر­های مجانبی جدید و موثری تعریف می­گردند. بررسی خواص همگرایی و عددی روش­ها هدف بعدی این پایان نامه است.

  دستهمهمازروشهایحلمسائلبه?نهسازیچندهدفهروشهایاسالرسازیاست. درا?ن روشهابابهکارگ?ریبرخپارامترها،مسالهبه?نهسازیچندهدفهموردنظربه??اچندمساله تهدفهتبد?لمشود. ازجملهمهمتر?نا?نروشهامتوانبهروشهایمجموعوز?نوم?ن- ماکسوزنداراشارهکرد. مشلعمدها?نروشهاا?ناستکهتع??نپارامترهایمناسبمانند انتخابوزنهامبا?ستدرشروعحلصورتب?ردولچن?نکارین?ازمندنرشعم?قنسبتبه ساختارجوابمسالهاستکهعم?ممنن?ست. (برایمسائلمحدبو MICA)الور?تمتعاملچب?شفاص?حشدهبرایبرنامهر?زیچندهدفه نامحدبموردبررسقرارمگ?رد.ا?نالور?تمبراساسروشچب?شف،روشنفطهمرجعوا?رزب? وروشم?چالوفسوزاپ?رومباشد.درهرترارتصم?مگ?رندهآستانهها?)سطوحازتابعهدف کهبرایتصم?مگ?رندهمطلوبهستندسطوحموردانتظار?انقطهمرجعنام?دهمشود.( بهشل بردارمع?ارنقطهمرجعدرنظرمگ?رد.همچن?نمتواندکمتر?نمقدارقابلقبول)کف(تابعهدف بهعنوانسطوحپذ?رشدرنظرب?رد.?مجموعهازبردارهایوزنساختهمشودکهبااستفادهاز ا?نبردارهایوزنالور?تم?مجموعهازجوابهایکاراتول?دمکند.باتع??نا?نکرانهافضای جواببهز?رمجموعهکوچتریتبد?لمشودکهدرمسائلمحدبجوابکارا?تول?دمشودکه درشرا?طمطلوبصدقمکندامادرمسائلنامحدبلزوماًچن?نن?ست. منظورازنقطهمرجعمعادلنقطهایاستکهباتغ??رنقطهمرجعفعلبهآننقطهجواببه?ن موردنظربدونتغ??رباقبماند.?زمبهذکراستتغ??راتنقطهمرجعبراساسنقطهمرجعقبل،برخ پارامترهایتابعاسالرسازیونقطهنامغلوببهدستآمدهتغ??رمکند.ثابتمشودکهمجموعهنقاط مرجعمعادلبهصورتترک?بمحدبازدوخطاستکه?ازنقطهمرجعفعلود?ریازنقطه نامغلوبحاصلمگذرد. ش?با?نخطوطبراساسمعوسوزنهادرتابعاسالرسازیدست?اب .[21بهدستمآ?د.ا?نفرا?ندبا?مثالعددیکهمبنبردادههایواقعاستشرحدادهمشود]دستهمهمازروشهایحلمسائلبه?نهسازیچندهدفهروشهایاسالرسازیاست. درا?ن روشهابابهکارگ?ریبرخپارامترها،مسالهبه?نهسازیچندهدفهموردنظربه??اچندمساله تهدفهتبد?لمشود. ازجملهمهمتر?نا?نروشهامتوانبهروشهایمجموعوز?نوم?ن- ماکسوزنداراشارهکرد. مشلعمدها?نروشهاا?ناستکهتع??نپارامترهایمناسبمانند انتخابوزنهامبا?ستدرشروعحلصورتب?ردولچن?نکارین?ازمندنرشعم?قنسبتبه ساختارجوابمسالهاستکهعم?ممنن?ست. (برایمسائلمحدبو MICA)الور?تمتعاملچب?شفاص?حشدهبرایبرنامهر?زیچندهدفه نامحدبموردبررسقرارمگ?رد.ا?نالور?تمبراساسروشچب?شف،روشنفطهمرجعوا?رزب? وروشم?چالوفسوزاپ?رومباشد.درهرترارتصم?مگ?رندهآستانهها?)سطوحازتابعهدف کهبرایتصم?مگ?رندهمطلوبهستندسطوحموردانتظار?انقطهمرجعنام?دهمشود.( بهشل بردارمع?ارنقطهمرجعدرنظرمگ?رد.همچن?نمتواندکمتر?نمقدارقابلقبول)کف(تابعهدف بهعنوانسطوحپذ?رشدرنظرب?رد.?مجموعهازبردارهایوزنساختهمشودکهبااستفادهاز ا?نبردارهایوزنالور?تم?مجموعهازجوابهایکاراتول?دمکند.باتع??نا?نکرانهافضای جواببهز?رمجموعهکوچتریتبد?لمشودکهدرمسائلمحدبجوابکارا?تول?دمشودکه درشرا?طمطلوبصدقمکندامادرمسائلنامحدبلزوماًچن?نن?ست. منظورازنقطهمرجعمعادلنقطهایاستکهباتغ??رنقطهمرجعفعلبهآننقطهجواببه?ن موردنظربدونتغ??رباقبماند.?زمبهذکراستتغ??راتنقطهمرجعبراساسنقطهمرجعقبل،برخ پارامترهایتابعاسالرسازیونقطهنامغلوببهدستآمدهتغ??رمکند.ثابتمشودکهمجموعهنقاط مرجعمعادلبهصورتترک?بمحدبازدوخطاستکه?ازنقطهمرجعفعلود?ریازنقطه نامغلوبحاصلمگذرد. ش?با?نخطوطبراساسمعوسوزنهادرتابعاسالرسازیدست?اب .[21بهدستمآ?د.ا?نفرا?ندبا?مثالعددیکهمبنبردادههایواقعاستشرحدادهمشود]

  A trust-region-based algorithm for the nonconvex unconstrained multiobjective optimization problem is considered. It is a generalization of the algorithm proposed by Fliege et al. for convex problems. Similarly to the scalar case, at each iteration a subproblem is solved and the step needs to be evaluated. Therefore, the notions of decrease condition and of predicted reduction are adapted to the vectorial case. A rule to update the trust region radius is introduced. Under differentiability assump- tions, the algorithm converges to points satisfying a necessary condition for Pareto points and, in the convex case, to a Pareto points satisfying necessary and sufficient conditions. Furthermore, it is proved that the algorithm displays a q-quadratic rate of convergence. The global behavior of the algorithm is shown in the numerical ex- perience reported. Keyword: Multicriteria optimization, Multiobjective programming, Pareto points, Newton’s method ,Trust region.

  آنچه بهینه‌سازی را از کاربردهای عملی دور نموده است ناشی از دو واقعیت عملی مهم است. یکی تنوع اهداف و معیارهاست که در بیشتر موارد در تضاد و تقابل با یکدیگرند و دیگری نادقیق بودن داده‌های اولیه است. برای رویارویی با این چالش مفهوم پایداری در بهینه‌سازی چندهدفه ارائه شد که مورد بحث این پایان‌نامه است.  در این پایان‌نامه، مفهوم پایداری از مسائل تک‌هدفه به مسائل چندهدفه تعمیم داده می‌شود. منظور از جواب پایدار جوابی است که به‌ازای تمام سناریوهای ممکن کارا بماند. همچنین مفهوم پایداری مینماکس مورد مطالعه قرار می‌گیرد. فرآیند ارائه شده در این زمینه، ترکیبی است از پایداری در مسائل تک‌هدفه و بهینه‌سازی چندهدفه معین. به‌طور خاص در مسائل بهینه‌سازی چندهدفه‌ی خطی، فرمولی برای شعاع پایداری شدنی و شرایط بهینگی قابل اجرا برای جواب‌های کارای ضعیف پایدار ارائه می‌شود. ضمن معرفی جواب‌های کارای ضعیف بسیار پایدار یک فرآیند محاسباتی نیز برای محاسبه‌ی این جواب‌ها بررسی می‌شود. سرانجام یک فرآیند بهینه‌سازی دوهدفه برای تقلیل مرز کارا و کمک به تصمیم‌گیرنده جهت اتخاذ تصمیمی ارجح ارائه می‌شود. در این راستا، پایداری جواب و پایداری مدل مطرح می‌شود. الگوریتم‌های محاسباتی مربوطه در این زمینه براساس تجزیه‌ی وجهی است.

در این پایان نامه مفاهیم بهینگی سره در بهینه سازی برداری با ساختارهای ترتیبی متغیر معرفی شده و با استفاده از برخی روشهای اسکالرسازی جدید خواص مشخصه مختلفی برای تشخیص عناصر کارای سره ارائه می شود. این اسکالرسازی ها براساس تابعکهایی تعریف میشوند که از عناصر مخروط دوگان افزوده، بدست می آیند. ضمن بررسی رابطه ی بین مخروطهای دوگان افزوده و مخروطهای بیشاپ-فلپس، خواص این تابعکها مورد مطالعه قرار میگیرد. همچنین خواص مشخصه ای برای دیگر مفاهیم بهینگی مانند عناصر بهینه ضعیف و بهینه قوی بدست می آید..

مسائل بهینه سازی ضربی دسته ی خاصی از مسائل بهینه سازی سراسری اند. الگوریتم های موجودبهینه سازی سراسری برای حل این مسائل قابل اجرا هستند ولی کارایی پایینی دارند. اگر عوامل ضربدر بهینه سازی مثبت باشند، جواب بهینه ی این مسائل یک جواب کارا برای یک مساله ی بهینه سازیچندهدفه ی نظیر است. بنابراین به جای جستجوی سراسری روی کل فضای شدنی کافیست این جوابرا در مرز کارای مساله ی چندهدفه ی مذکور که یک مجموعه ی کوچکتر است جستجو کرد. در واقع الگوریتم های حل مسائل چندهدفه را می تواند در این راستا بسیار کارساز باشد. از جمله الگوریتم هایموثر در این زمینه الگوریتم ارائه شده توسط ارگوت و شائو در سال 201? است [30]. در این روشکه برای حل مسائل بهینه سازی چندهدفه ی محدب ارائه شده است، با یک روش برش و کران تقریبیاز مرز کارا به دست می آید. ارگوت و همکاران[31] در سال 201? با تعمیم روش تقریب بیرونیبنسون یک روش مشابه مبتنی بر دوگان برای حل مسائل بهینه سازی خطی چندهدفه ارائه کردند. دراین پایانامه بر اساس این روش الگوریتمی برای حل مسائل بهینه سازی خطی چندهدفه ی ضربی ارائهمی شود.

خانواده روش‌های گرادیان یک خانواده مهم از روش‌های موجود برای حل مسائل بهینه‌سازی نامقید هستند. روش گرادیان برزیلا-بوروین ‎(BB)‎ یکی از مهم‌ترین روش‌های گرادیان است که دارای محاسبات کم و سرعت همگرایی مناسبی است. این روش برای توابع مجذوری اکیداً محدب ‎2-‎بعدی دارای مرتبه همگرایی ‎R-‎زبرخطی است.در این پایان‌نامه یک آنالیز همگرایی جدید برای روش گرادیان ‎BB‎ ارائه می‌گردد که گویای این است که روش فوق دارای مرتبه همگرایی ‎R-‎زبرخطی با مرتبه ‎sqrt{2}‎ است. در قسمت دوم این رساله، با ترکیب روش‌های گرادیان مزدوج و روش ‎BB‎ یک الگوریتم گرادیان مزدوج استفاده کننده از طول گام ‎BB‎ ارائه می‌گردد که خواص مناسب هر دو روش را حفظ می‌کند. بررسی خواص همگرایی روش فوق مبحث بعدی این رساله است.