فرض کنید \\(G\\) یک گراف باشد. شاخص زاگرب اول به عنوان مجموع مربع‌های درجات رئوس \\(G\\) تعریف می‌شود؛ همچنین شاخص زاگرب دوم، مجموع حاصل‌ضرب درجات رئوس مجاور است. هدف اصلی این پایان‌نامه، توصیف کامل درخت‌های با \\(k \\geq 1\\) راس مشخص، که دارای درجه ماکسیمم ثابت \\(\\Delta \\geq 3\\) هستند، با توجه به ماکسیمم و مینیمم مقادیر شاخص‌های زاگرب می‌باشد. در میان دیگر نتایج، ساختار درخت‌های اکسترمال و کاربردهای آن‌ها را در خانواده درختان شیمیایی مطالعه می‌کنیم.  

در این پایان‌نامه، حلقه‌هایی را بررسی می‌کنیم که روی آن‌ها هر مدول دارای خاصیت هم-درون‌بر است. مدول راست $M$ را یک مدول هم-درون‌بر می‌نامند، اگر برای هر زیرمدول سره $N$ از $M$، یک هم‌ریختی ناصفر $\\varphi: N \\to M$ وجود داشته باشد. ما حلقه‌هایی را بررسی می‌کنیم که در آن‌ها، همه‌ مدول‌ها هم-درون‌بر باشند. همچنین بررسی خواهیم کرد که حلقه $R$ یک حلقه به‌طور کامل هم-درون‌بر راست (چپ) است اگر و تنها اگر با حاصلضرب متناهی از حلقه‌های کامل موضعی یکریخت باشد. %همچنین، چندین کلاس از مدول‌ها روی حلقه‌های نوتری چپ معادل هستند. ما نشان می‌دهیم که: %روی حلقه نوتری چپ $R$، حلقه $R$ نیم‌آرتینی چپ و $V$-حلقه چپ است اگر و تنها اگر $R$ یک حلقه به‌طور کامل هم-درون‌بر باشد.   

 در این پایان نامه یک تقریب جدید برای معادله انتگرو-دیفرانسیل کسری از هردو نوع ولترا و فردهولم در حالت خطی و غیرخطی ایجاد خواهد شد. علیرغم گام های مهمی که در دستیابی به راه حل های عددی کارا و نسبتا دقیق در حل معادلات FIDE ها انجام شده است، همچنان شکاف آشکاری برای توسعه یک روش عددی همه کاره و دقیق که قادر به حل مسائل متنوع FIDE های خطی و غیرخطی با عملگر های انتگرال باشد، وجود دارد. برای پر کردن این شکاف، در این پژوهش از تکنیک هم مکانی بی اسپلاین مکعبی   به عنوان یک رویکرد قوی و سازگار برای حل طیف گسترده ای از معادلات انتگرو-دیفرانسیل کسری در دو نوع خطی و غیر خطی با ترکیب کردن عملگر های انتگرال ولترا و فردهولم پیشنهاد می شود. این روش با به کار گیری ویژگی انعطاف پذیری و کارایی محاسباتی خطوط بی اسپلاین مکعبی، با یک تکنیک یکپارچه راه های عددی دقیق تری را ارائه می کند. از لحاظ   حل پذیری (وجود جواب دستگاه بدست آمده ازگسسته سازی مسئله)، تجزیه و تحلیل همگرایی و پایداری   مسئله انجام شده، تایید بیشتری از دقت و قابلیت اطمینان روش هم محلی بی اسپلاین مکعبی را بازگو می کند که می تواند بسیار به حل مسائل FIDE ها با پیچیدگی بیشتر کمک کند. به منظور نشان دادن دقت و کارایی روش   پیشنهادی چند مثال عددی آورده شده و با روش­های دیگران که این مساله را حل نموده اند و در منابع ذکر شده مقایسه شده است.کلمات کل?د?: معادل? انتگرو-د?فرانس?ل ولترا? کسر?،   معادل? انتگرو-د?فرانس?ل فردهولم کسر?، معادل? انتگرو-د?فرانس?ل کسر?،  حساب کسر?،   بی-اسپلاین مکعب?.

   در این پژوهش، یک روش نوآورانه برای نهان گزاری تصاویر دیجیتال ارائه شده است که ترکیبی از تبدیل کسینوسی گسسته (DCT)، تبدیل موجک گسسته سه‌سطحی (3L-DWT) و تجزیه مقدار تکین (SVD) است. این روش با هدف افزایش امنیت، غیرقابل تشخیص بودن و مقاومت طراحی شده و قابلیت استخراج واترمارک بدون نیاز به تصویر اصلی (واترمارک‌گذاری کور) را فراهم می‌کند.مراحل اصلی روش پیشنهادی شامل پیش‌پردازش تصویر واترمارک با استفاده از نقشه آرنولد، اعمال تبدیل‌های DCT و DWT، و تجزیه SVD است. واترمارک در ضرایب فرکانس پایین حوزه تبدیل تصویر میزبان جایگذاری می‌شود تا مقاومت بیشتری در برابر حملات مختلف داشته باشد.نتایج آزمایش‌ها نشان می‌دهد که روش پیشنهادی در برابر حملات مختلف مانند فیلترها، نویز، حملات هندسی و حذف ردیف/ستون مقاومت بالایی دارد و عملکرد بهتری نسبت به روش‌های موجود از خود نشان می‌دهد. این روش همچنین امنیت بالایی را با استفاده از نقشه آرنولد تضمین می‌کند.روش پیشنهادی غیرقابل تشخیص بودن بهتری را تضمین می‌کند که مقدار آن 57.6303 dB است و مقاومت بهبود یافته‌ای در برابر حملات فیلتر، نویز نمک و فلفل (  ) و چرخش نسبت به روش‌های پیشرفته موجود ارائه می‌دهد. برای فیلتر میانه با اندازه‌های پنجره مختلف، مقدار WNC این روش برابر با 1 است که بیشتر از روش‌های موجود است.این تحقیق ضمن ارائه یک روش بهبود یافته برای واترمارک‌گذاری تصاویر دیجیتال، پتانسیل کاربرد در حوزه‌های مختلفی مانند حقوق دیجیتال، پزشکی و امنیت نظامی را دارد.

در سراسر این پایان نامه حلق? $R$ یک حلق? جابجایی نوتری موضعی با ایده‌آل ماکسیمال $\\mathfrak{m}$ است. فرض کنید $\\mathfrak{a}$ و $\\mathfrak{b}$ ایده‌آل‌های پارامتری از $R$ باشند به قسمی که $\\mathfrak{a}\\subseteq\\mathfrak{b}$. \\textbf{دیوید ریس }\\LTRfootnote{David Rees} ثابت کرده است هرگاه $R$ کوهن-مکالی باشد $\\Hom_R(R/\\mathfrak{a},R/\\mathfrak{b})\\cong R/\\mathfrak{a}.$ همچنین $\\Hom_R({R}/\\mathfrak{a},R/\\mathfrak{b})$ یک ${R}/\\mathfrak{a}$-مدول آزاد با رتب? 1 است. اکنون فرض کنید $M$ یک $R$-مدول متناهی مولد باشد. هدف ما در این پایان‌نامه بررسی و مطالع? ساختار همریختی‌های مدولی $\\Hom_R(R/\\mathfrak{a},M/\\mathfrak{b} M)$ می‌باشد که در آن $M$ یک $R$-مدول کوهن-مکالی نیست. بررسی و تحلیل قضیه‌ها و نتایج را از بُعدهای کوچک شروع می‌کنیم و سپس به بُعدهای بالاتر تعمیم می‌دهیم.  

در این پایان نامه، ما یک مدل اپیدمی چندگروهی از نوع SAIRS را با واکسیناسیون مطالعه می کنیم. نقش افراد عفونی بدون علامت و علامت دار به صراحت در الگوی انتقال بیماری در بین گروه های که جمعیت در آن ها تقسیم مس شود در نظر گرفته می شود. ما یک تحلیل ثبات سراسری برای مدل ارائه می دهیم. ما ارزش عدد تولیدمثل پایه R0 را تعیین می کنیم و ثابت می کنیم که نقطه تعادل عاری از بیماری به طور سراسری مجانبی پایدار است اگر1 > R0 باشد. در مورد مدل بدون واکسیناسیونSAIRS، ما ثبات مجانب سراسری نقطه تعادل عاری از بیماری را نیز زمانی که 1 = R0 باشد، ثابت می کنیم. علاوه براین، اگر1 < R0 باشد، نقطه تعادل عاری از بیماری ناپایدار است و یک نقطه تعادل بومی منحصربه فرد وجود دارد. ابتدا ما پایداری موضعی مجانبی نقطه تعادل بومی و متعاقبا پایداری سراسری آن را برای دو تغییر از مدل اصلی بررسی می کنیم. در آخر ما شبیه سازی های عددی را برای مقایسه شیوع همه گیری در توپولوژی های شبکه های مخالف ارائه می کنیم.

نرخ فریم بالا در قسمت‌های سریع‌تر حرکتی قلب به ویژه در قسمت دریچه\\/ها بسیار مفید است زیرا منجر به بهبود تشخیص پزشکی می\\/شود. به این منظور، یک روش مبتنی بر اسپلاین غیر\\/ چند\\/جمله\\/ای برای افزایش نرخ فریم در اکوکاردیوگرافی پیشنهاد می\\/شود. علاوه بر بیان جزییات روش پیشنهادی، دو مزیت مهم دیگر نیز ارائه می\\/شود: (?) یک جواب به فرم بسته از جواب درونیابی سیگنال ها ارائه شده که پیوسته و مشتق پذیر است؛ (?) همچنین تجزیه و تحلیل خطا برای سیگنال جایگزین ارائه می\\/شود. نتایج نشان می‌دهد که روش درونیاب غیر چندجمله‌ای قابل اعتماد است. در نهایت، برای نشان دادن کارآیی پیشنهاد در افزایش وضوح زمانی، یعنی افزایش نرخ فریم، آن را به سه نوع مجموعه داده، شامل یک سیگنال ?بعدی، یک مجموعه داده شبیه‌سازی شده، و تصاویر اکوکاردیوگرافی اعمال می\\/شود. نتایج به دست آمده نشان می‌دهند که میانگین مربعات خطای روش پیشنهادی از ?/? به ?/? کاهش می‌یابد. نتایج کمی همچنین نشان می‌دهد که، حتی با نرخ‌های نمونه برداری پایین‌تر، می‌توان به بازسازی با کارایی بالا رسید در حالی که کیفیت تصویر به طور قابل توجهی کاهش نمی‌یابد.  

     در این پایان‌ نامه روشی قوی برای افزودن واتر مارک به تصاویر ارائه می شود که اصلی‌ترین پایه‌های آن شامل تبدیل موجک ، تجزیه و تحلیل حالت تجربی دو بعدی ، تبدیل کسینوسی گسسته ، بهینه‌سازی انبوه ذرات و تجزیه و تحلیل مقدار تکین است. در طول فرایند تعبیه،   سطح 2 برای تجزیه تصویر پوششی به زیرباندها استفاده می‌شود. همچنین،  برای تجزیه تصاویر و علامت‌گذاری استفاده می‌شود. علاوه بر این، تجزیه و تحلیل   بر روی باند انتخاب شده از  اجرا می‌شود. درفاز بهینه‌سازی، برای جستجوهای پیچیده و چند بعدی استفاده می‌شود. عوامل تعبیه و مقیاس‌بندی با کمک یک کلید امنیتی تعبیه می‌شوند. تصویر واتر مارک از طریق فرایند استخراج به‌دست می آید. نتایج آزمایشی نشان می‌دهند که تکنیک پیشنهادی نسبت به چندین حمله هندسی(اعمال نویز) و غیر هندسی قوی است.

امروزه ظهور مدل­های مولد مبتنی بر یادگیری ماشین، کاهش قابل توجهی را در نرخ بیت رمزواره‌[1]های گفتاری فراهم نموده است. با این حال، در شرایط واقعی و در حضور عوامل مخربی نظیر نویز و اعوجاج، فرآیندهای فوق با مشکلات جدی مواجه می­شوند که این امر ناشی از حساسیت معیار حداکثر مقدار شباهت به نقاط پرت و نیز ناکارآمدی مدل­سازی مجموع سیگنال­های مستقل با به کارگیری مدل اوتورِگرِسیو می­باشد . در این پایان نامه روشی مبتنی بر منظم‌سازی واریانس پیش‌بینی‌کننده را معرفی می‌شود تا با استفاده از آن حساسیت به موارد پرت را کاهش داده و در نتیجه کارکرد سیستم را افزایش دهیم. به­علاوه نشان داده می­شود که کاهش نویز برای حذف سیگنال­های ناخواسته می­تواند کارکرد را به طور قابل توجهی افزایش دهد. همچنین ارزیابی­های هدفمند گسترده­ای ارائه خواهد شد که نشان می­دهد سیستم پیشنهادی بر پایه­ی مدل مولد، حالت کارکرد کدگذاری نوینی را برای سیگنال­های گفتاری زمان واقعی در   3 کیلوبیت بر ثانیه ارائه می­کند. [1] Codec   

در این پایان‌­نامه گراف جابه‌جایی‏، گراف توانی و گراف توانی پیشرفته گروه ‎ ‎G‎ ‎‏ ‏را مطالعه می‌کنیم که به ترتیب با ‎Com (G)‎‎ ‎‏‏، ‎P‎ow (G)‎‎ ‎‏‏‏ و ‎ Epow‎ (G)‎‎ ‏‏‏ نشان داده می‌شوند.‎‏‎‎ ‎بعلاوه‎ ‎گراف جدیدی را معرفی می‌کنیم که گراف جابه‌جایی عمیق گروه‎G‎ ‎‏‎‎ ‎نامیده‎ می‌شود. مجموعه رئوس این گراف‌ها اعضای ‎ ‎G‎ ‎‏ هستند و دو عضو ‎ ‎x,y ‎‎‎ ‎‏ در گراف جابه‌جایی عمیق مجاورند اگر پیش تصویر این اعضا در هر توسیع مرکزی از ‎ ‎G‎ ‎‏ جابه‌جا شوند.‎‎‏‎ثابت می‌شود که گراف جابه‌جایی عمیق‏، بین گراف جابه‌جایی و گراف توانی پیشرفته قرار دارد. :کلمات کلیدی‎گراف جابه‌جایی عمیق‏‎‎‎‎‎‏‏، ضربگر شور‎‎‎‎‏‏، توسیع مرکزی.   

   این پایان نامه به حل عددی دسته ای از معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی مرتبه چهارم اغتشاش تکین از نوع همرفت –انتشار می پردازد. در ابتدا معادله دیفرانسیل مرتبه چهارم خطی را به یک زوج دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم بطور ضعیف با پارامتر اغتشاش تکین تبدیل نموده ،که یکی از معادلات آن پارامتر   تکین ندارد. سپس جواب این دستگاه را با استفاده از توابع بی اسپلاین-درجه دوم بر روی یک شبکه بندی نمایی   در دامنه ، تقریب میزنیم. آنالیز همگرایی روش پیشنهادی نشان میدهد که همگرایی این روش از مرتبه دوم و یکنواخت (مستقل از پارامتر   تکین) می باشد. همچنین برای معادلات مرتبه چهارم غیر خطی ابتدا این معادلات را با استفاده از یک روش ، خطی سازی می نماییم سپس روش پیشنهادی را اعمال میکنیم. در پایان جهت تایید نتایج تئوری،چند مثال عددی را با نتایج کامل مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان‌نامه به بررسی قضایایی در مورد انشعاب از هسته های یک بعدی و تعمیم هایی از قضیه کرندل-رابینویتز می پردازیم. سپس به کمک قضایای انشعاب از هسته یک بعدی به بررسی انشعاب سیستم های فعال کننده-بازدارنده پرداخته می شود. همچنین اثر انتشار غیرموضعی روی انشعاب ها و شکل گیری الگوهای ناهمگن فضایی در حالتی که سرعت پراکندگی بازدارنده به اندازه کافی کوچک است مورد مطالعه قرار می گیرد. وجود جواب های حالت پایای غیرثابت و وجود ناپایداری تورینگ برای سیستم های غیرموضعی اشاره شده نیز مورد بررسی قرار می گیرد.  

در این پایان‌نامه یک روش عددی کاربردی مناسب، براساس چندجمله‌ای‌های چبیشف ارائه شده است، تا جواب‌های عددی مناسبی را برای حل معادله بیگلی ترویک فراهم آورد.ابتدا ماتریس عملگری مشتق مرتبه کسری بدست می‌آید.سپس با استفاده از این ماتریس عملگری، معادله دیفرانسیل مرتبه کسری به یک سیستم معادله جبری تبدیل شده، که با استفاده از روش عددی نیوتن حل می‌شود.علاوه براین، حداکثر مقدار خطای مطلق از طریق تحلیل خطا بدست می‌آید.   کلمات کلیدی:معادله بیگلی ترویک، چندجمله‌ای‌های چبیشف، روش‌های محلی، مشتق لیوویل کاپوتو.      

  در سال‌های اخیر، یافتن نزدیک‌ترین تصویر برای واحدهای تصمیم‌گیری تحت ‌ارزیابی (DMU) به طور قابل توجهی توجه محققان را به خود جلب کرده است و مقالات متعددی در این زمینه منتشر شده است. در برخی از این مقالات، اندازه کارایی مربوطه در خاصیت یکنوایی قوی صدق نمیکند. از آنجایی که این ویژگی نقش بسیار مهمی در مقایسه و رتبه‌بندی DMU ها دارد، ارائه روش‌هایی که ضمن یافتن تصویر کارا، اندازه کارایی مربوطه در آنها قویا یکنوا باشد، بسیار مطلوب است. به طور عمده تحقیقات انجام شده در این زمینه به دو دسته کلی زیر تقسیم می شوند: الف) روش هایی که تمام وجوه کارای با بعد کامل یا نسخه های توسعه یافته آنها را بدست می آورند و سپس فاصله DMU تحت ارزیابی را تا این وجوه بدست می آورند. ب) روش هایی که به جای به دست آوردن وجوه کارآمد تمام بعدی، با استفاده از برخی مدل های برنامه ریزی خطی اعداد صحیح مختلط، به طور ضمنی فاصله DMU تحت ارزیابی تا مرز کارای قوی را محاسبه می کنند. در هر دو مورد، بر اساس فاصله به‌دست‌آمده، یک اندازه کارایی قویا یکنوا معرفی می‌شود. این پایان نامه با استفاده از برخی نتایج عددی واقعی به بررسی دقیق این روش ها می پردازد.

  مدولهای درون منظم موضوع بسیاری از مقالات در طول شصت سال گذشته بوده که فوچز این سوال را مطرح کرد که کدام گروه آبلی درون منظم هستند. گلاز و ویکلس در [19[ و رنگسومی در [30 [به این سوال برای طبقات بزرگی از گروههای آبلی پاسخ دادند. اما مسئله همچنان باز است. ویر ? در [3? [جز اولین کسانی بود که روی مدول های درون منظم روی حلقه های دلخواه بررسی کرد، او بیشتر بر مدول تصویری تمرکز داشت. لی و همکارانش، بعدها در [23 [تحقیقات کلی تری در مورد مدولهای درون منظم انجام دادند. حلقه های منظم یکه یکطرفه و مدولهای درون منظم یکه یکطرفه، برای اولین بار توسط ارلیچ در [10 ،11 [مورد مطالعه قرار گرفت. لی و ژانگ در [38 [در مورد این موضوع توضیح دادند. همچنین مدولهای درون منظم قوی توسط لی و همکارانش در [23 ،38 [مورد بحث قرار گرفتند که این مدول ها را “مدولهای درون منظم آبلی” نامیدند. [همچنین گلاز و ویکلس در [19 ،([نتایجی در مورد ایده آل درون منظم(برای مثال، گروه های آبلی ) ثابت کرد. در مطالب پیش رو هدف بررسی سه مورد خواهد بود. ابتدا چندین نتیجه کلی در مورد اشکال مختلف “درون منظم” را ثابت خواهیم کرد، که بر تئوری توسعه یافته قبلی بسط داده شده است. سپس بسیاری از نتایج شناخته شده در مورد “درون منظم” در گروههای آبلی را به مدولها روی حلقه های جابه جایی با طیف نوتری گسترش خواهیم داد. در نهایت تعمیم مفیدی از مدولهای درون منظم (روی حلقه های جابهجایی) را تعریف می کنیم که آن را مدولهای درون منظم ضعیف می نامیم و بسیاری از ویژگیهای این مدولها را بررسی خواهیم کرد

در این پایان‌نامه، به مطالعه جبرهای لایبنیتز پادمرکز (لی-مرکز) و چندین مفهوم مرتبط با این نظریه خواهیم پرداخت. ‎هچنین‎ کران هایی برای بُعد اَبَرمرکز یک جبر لایبنیتز به‌دست آوریم. بعلاوه به بررسی و مطالعه توسیع‌های لی-مرکزی و به‌دست آوردن دنباله دقیق 6 جمله‌ای از گروه‌های لی-همولوژی مرتبط با توسیع‌های لی-مرکزی می‌پردازیم. از این‌رو می‌توانیم توسیع‌های لی-تنه‌ای‏، پوشش‌های-تنه‌ای و لی-توانا جبرهای لایبنیتز را توصیف و بررسی کنیم.  

  فرض کنید ‎$V$‎ یک فضای برداری ‎$n$-‎بعدی روی میدان متناهی ‎$q$-‎عضوی باشد. گراف گراسمان ‎$V$‎ که به صورت ‎$\\Gamma _k(V)$‎ نشان داده می‌شود، یک گراف ساده است که مجموعه رئوس آن مجموعه‌ی تمام زیرفضاهای ‎$k$-‎بعدی از ‎$V$‎ است به طوری‌که ‎<k<n-1$‎ باشد و دو راس متمایز در این گراف، دو راس مجاور هستند اگر اشتراک آن‌ها، زیرفضای ‎$k-1$-‎بعدی از ‎$V$‎ باشد. تحدید گراف گراسمان ‎$\\Gamma _k(V)$‎ به مجموعه‌ی تمام ‎$[n,k]_q$-‎کدهای‌خطی غیرمولد با نماد ‎$\\Gamma (n,k)_q$‎ نشان داده می‌شود. در این پایان‌نامه نشان می‌دهیم که اگر ‎$n$‎ به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد آن‌گاه دو کد وجود دارند که فاصله آن‌ها در ‎‎‎ گراف‌های ‎$\\Gamma _k(V)$‎ و ‎$\\Gamma (n,k)_q$‎ متفاوت است. همچنین یک کلاس از چنین کدهایی ‎معرفی می‌شود. در ادامه نشان داده می‌شود که زیرگراف القایی ‎$\\Gamma _k(V)$‎ روی ‎$[n,k]_q$-‎کدهای تصویری همبند است، قطر آن برابر است با قطر گراف گراسمان و فاصله بین هر دو راس آن برابر است با فاصله بین همان دو راس در گراف گراسمان. سپس به بررسی کدهای سادکی می‌پردازیم. در پایان ثابت می‌کنیم کد سادکی دودویی از بعد ‎$3$‎ دقیقاً زیرفضای ماکزیمال از یک فرم درجه دوم غیرمولد آن است.

  فرض کنید ‎$G$‎ یک گراف با ماتریس مجاورت ‎$A(G)$‎ باشد. پوچی ‎$\\eta(G)$‎ از ‎$G$‎، تکرر صفر به عنوان یک مقدار ویژه ‎$A(G)$‎ تعریف می‌شود که بخاطر اهمیت آن در شیمی، توجهات زیادی را جلب کرده است. در اینجا, کران‌های بالایی برای ‎$\\eta(G)$‎ مشخص می‌شود. به طور مثال نشان ‌داده‌می‌شود که ‎$\\eta(G) \\leq \\frac{(\\Delta‎- ‎2)n‎ + ‎2}{\\Delta‎- ‎1}$‎ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر ‎$G\\cong C_n$ ($n \\equiv 0(\\rm mod 4)$)‎ یا ‎$G \\cong K_{\\Delta‎, ‎\\Delta}$‎. تکرر یک مقدار ویژه ‎$\\lambda$‎ از ‎$A(G)$‎ با ‎$m(G,\\lambda)$‎ نشان داده می‌شود. فرض کنید ‎$\\theta(G) =|E(G)|-|V(G)|‎ +‎1$‎ عدد دوری ‎$G$‎ و ‎$p(G)$‎ تعداد راس‌های آویز ‎$G$‎ باشد. در این پایان‌نامه، ثابت می‌شود که برای گراف همبند ‎$G$‎، ‎$m(G‎, ‎\\lambda) \\leq 2\\theta(G)‎ ‎+p(G)$،‎ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر ‎$G$‎ دور ‎$C_n$‎ باشد و برای ‎$k=1,2,\\ldots \\lceil\\frac{n}{2}\\rceil-1$‎، ‎$\\lambda=2\\cos \\frac{2k\\pi}{n}$‎. ‎\\\\‎ ‎

 در این پایان نامه به بررسی شرایط لازم و کافی برای این که یک حلقه گروه به طور ضعیف پوچ-مرتب باشد پرداخته ایم. فصل اول شامل مفاهیم و تعاریف اولیه می باشد. در فصل دوم حلقه گروه پوچ-تمیز و به طور ضعیف پوچ-تمیز را تعریف می کنیم. هدف اصلی فصل سوم بررسی حلقه گروه به طور ضعیف پوچ-مرتب می باشد.

 در این پایان نامه رابطه بین عمق و عدد نظم ایده آل همگن Iو ایده آل های (I,f)و I:fبه طوریکه f یک فرم خطی یا تک جمله باشد، را بررسی می‌کنیم.

. فرض کنید یک جبر مثلثی روی یک حلقه ی جابجایی داشته باشیم که یک خود ریختی از جبر مذکور و مرکز آن تعریف شده باشند. فرض کنید طبق آن جبر مثلثی یک نگاشت دو خطی و اثر آن را داشته باشیم. هدف ما توضیح فرمی از آن اثر است که در شرط جابجایی یا همین طور شرط مرکزی صدق کند. به طور دقیق تر، ما این سوال را بررسی می کنیم که چه زمانی اثر ماتریس با شرایط قبلی محض است؟ ما شرایط کافی برای اینکه هر اثر مرکزی از نگاشت دو خطی دلخواه روی یک جبر مثلثی محض باشد را فراهم می کنیم و این نتیجه را برای توصیف اثرهای مرکزی از نگاشت های دو خطی روی جبرهای مثلثی کلاسیک مشخص، اعمال می کنیم.

در این پایان نامه، نظریه خانواده  های حلال (a,k)-منظم شده روی یک فضای باناخ مطالعه می شود. این خانواده شامل نیم گروه های پیوسته قوی، خانواده های کسینوسی و خانواده های حلال از تبدیلات خطی کراندار هستند. در ادامه یک خانواده مرتبط با این مفهوم یعنی خانواده های (?,?)-حلال را درنظر می گیریم و قانون صفر-یک را برای این خانواده اثبات می کنیم. یک دیدگاه جدید در مورد خواص ساختاری نظریه نیم گروه های پیوسته قوی، خانواده های کسینوسی پیوسته قوی و خانواده های ?-حلال ارائه می شود.کلمات کلیدی: خانواده های یک پارامتری از عملگرهای کراندار، نیم گروه های پیوسته قوی، خانواده های کسینوسی، خانواده های (?,?)-حلال، خانواده های حلال (a,k)-منظم شده، قانون صفر-یک.

در این پایان‌نامه ابتدا به معرفی مجموعه‌های به‌طور جابه‌جایی بسته می‌پردازیم. سپس احکامی در مورد اجتماع و اشتراک مجموعه‌های به‌طور جابه‌جایی بسته ارائه می‌دهیم. با معرفی عضو‌های به‌طور جابه‌جایی بسته، روابطی را میان این عضو‌ها با مجموعه‌های متناهی ددکیند بیان کرده سپس شرط برگشت‌پذیر بودن یک عضو به‌طور جابه‌جایی بسته را بررسی می‌کنیم. همچنین مثال‌های متنوعی را ارائه داده و با ویژگی‌های جدیدی برای زیرمجموعه یک حلقه آشنا می‌شویم و برخی حلقه‌ها مانند حلقه‌های ‎2-‎اولیه را با کمک این مفاهیم بررسی می‌کنیم. همچنین ویژگی‌های مرتبط با مقسوم علیه صفر و برگشت پذیری حلقه‌های جابه‌جایی را مطالعه می‌کنیم. سپس ارتباط حلقه برگشت‌پذیر و حلقه منظم قوی بیان می‌شود.  

فرض کنید nq(k‎, ‎d)   مینیمم طول n برای یک [n‎, ‎k‎, ‎d] q-کد   باشد. در نظریه کدگذاری یک کران پایین طبیعی برای nq(k‎, ‎d) وجود دارد که به آن کران گریسمر می‌گویند: ‎ nq(k‎, ‎d) ? gq(k‎, ‎d) =‎‎i=0k-1[dqi] ‎.‎ در این پایان‌نامه تعداد زیادی [n‎, ‎4‎, ‎d] 9-کد که طول آنها نزدیک به کران گریسمر است ساخته می‌شوند. همچنین از روش‌های هندسی روی هندسه‌های تصویری استفاده کرده و عدم وجود برخی کدهای خطی به طول گریسمر را ثابت می‌کنیم تا مقدار دقیق n9(4‎, ‎d) تعیین شود یا کران آن بهبود یابد. در پایان جدول به‌روزرسانی شده n9(4‎, ‎d) برای مقادیر d به غیر از حالت‌های شناخته شده آورده شده است.‎

ازجمله مشکلاتی که روش تکراری نیوتن برای حل مسائلبهینه سازی نامقیدداردمحاسبه ماتریس هسیان است 

کدهای خود دوگان و دوری روی حلقه های فروبنیوسی

موضوع اصلی این پایان نامه اثبات گویا بودن چند سری روی حلقه گرنشتاین کوتاه می باشد. 

   برای‎‎‎‎ عدد صحیح ‎‎$‎‎k\\geq 2‎$‎، یک گراف ‎‎$‎‎k‎$‎‎-رز گرافی است شامل ‎‎$‎‎k‎$‎ دور که در یک راس مشترک هستند. در این پایان‌نامه، نشان داده می‌شود که به استثناء دو مثال خاص، این گراف‌های رز توسط طیف لاپلاسین تعیین می‌شوند. سپس ثابت می‌شود که اگر طیف ماتریس لاپلاسین جهانی دو گراف رز یکسان باشد، آنگاه آن دو گراف یکریخت هستند. به یاد هورست ساکس (2016-1927)، با استفاده از قضیه ساکس و یک نتیجه جدید در مورد تعداد تطابق‌‌ها در اجتماع مجزای مسیرها، حالت خاص نتیجه مذکور در مورد ماتریس مجاورت را اثبات می‌کنیم. سپس روش جدیدی برای تعیین دنباله درجات گراف‌های متعلق به یک کلاس هم‌طیف معرفی می‌شود. در دیگر نتایج، ثابت می‌کنیم که تمام گراف‌های ‎‎$‎‎2‎$‎‎-رز، به غیر از یک مورد، توسط طیف لاپلاسین بدون علامت تعیین می‌شوند.

کدهای‎‎ خطی‎ علاوه بر کاربردهایشان در زمینه انتقال اطلاعات و ذخیره‌سازی داده‌ها، دارای کاربردهای خوبی در ترکیبیات و رمزنگاری هستند که به‌عنوان یک کلاس ویژه از کدهای خطی، کدهای خطی مینیمال کاربردهای مهمی در اشتراک‌گذاری مخفی و محاسبه دوبخشی ایمن دارند. کدخطی مینیمال همواره یک موضوع جذاب برای محققان در زمینه‌ی نظریه کدگذاری و رمزنگاری بوده است. آشیخمین و بارگ نشان دادند که شرط ‎‎‎‎‎‎$‎‎‎\\frac{w_{min}}{w_{max}‎}‎‎>‎\\frac{q-‎‎1}{q‎}‎$‎‎‎‎‎ یک شرط کافی برای مینیمال بودن یک کدخطی روی میدان متناهی ‎‎$‎F_q‎$‎ است که در آن ‎‎$‎q‎$‎ توانی از یک عدد اول و ‎‎‎$w_{min}‎$‎‎‎ و ‎‎$‎w_{max}‎$‎ به‌ترتیب کمترین و بیشترین وزن غیرصفر در بین کدکلمات است. اولین هدف این پایان‌نامه، آماده کردن یک شرط لازم و کافی برای مینیمال شدن کدهای خطی روی میدان‌های متناهی است. این شرط به ما کمک می‌کند تا چندین خانواده نامتناهی از کدهای خطی مینیمال با شرط ‎‎‎$‎‎‎\\frac{w_{min}}{w_{max}‎}‎‎\\leq ‎‎\\frac{q-‎‎‎‎1}{q‎}‎‎‎‎$‎ بسازیم. دومین هدف این پایان‌نامه، ساختن خانواده نامتناهی از کدهای خطی مینیمال دوتایی و سه‌تایی ناقض شرط آشیخمین و بارگ است که توزیع وزن آن‌ها نیز مشخص می‌شود.  

  G نسبت به H باشد. اندازه چرمارک دلگادو G از زیرگروه H و گروه متناهی یک G فرض کنیدکه دارای اندازه G شود. مجموعه همه زیرگروه های تعریف می mG(H) = |H||CG(H)| به صورتاست. در G تمام زیرگروه های ای از مشبکه دهیم که زیرمشبکه نشان می CD(G) ماکزیمم هستند را بازیرنرمال است. همچنین اگر G در H باشد آنگاه H   CD(G) کنیم که اگر این پایان نامه ثابت میکه در CD(G ? Cp)   به علاوه. به علاوه CD(G H) = CD(G) CD(K) باشد آنگاه گروه متناهی یک Kکنیم که را بیان می عدد فرد اول است را توصیف کرده و شرایطی یک    و گروه غیر بدیهی یک G آنخودش باشد. نهایتاً به دسته بندی چرمارک دلگادو عضوی از مشبکه تحت آن حاصل ضرب پیچشیآنها با بازه زیر برابر است: چرمارک دلگادو پردازیم که مشبکه گروه هایی می[G/Z(G)] = {   L(G)|Z(G)   H   G}.

فرض کنید   G گرافی ساده با طیف لاپاسین ????_1???_2???????_(n-1)???_n=  باشد. گستردگی لاپلاسین G به صورت   S_L (G)=?_1-?_(n-1)  تعریف می شود. در این پایان نامه، کران های پایین جدیدی برای گستردگی لاپلاسین برحسب پارامترهای گرافی مانند پهنای باند، عدد استقلال و همبندی راسی به دست می ایند. سپس یک کران بالای بهینه برای   S_L (G)  ارائه کرده و با استفاده از آن حدس  _L (G)?n-1   را برای گراف –t   شبه منظم به ازای  t??(n-3+2/n) اثبات می کنیم. در بین دیگر نتایج نشان داده می شود که این حدس برای برخی گراف های خاص مانند گراف های خالی از مثلث درست است. در پایان، چند کران برای  _L (G) ارائه می دهیم.  

تعیین حق بیمه برای بیمه گذار یکی از مقوله های مهم در بحث بیمه می باشد. در اکثر سیستم های پاداش-جریمه، حق بیمه برا اساس تعداد ادعای خسارت است و مبالغ ادعا در نظر گرفته نمی شود بنابراین در این مورد بیمه گذارانی که تصادف با ادعای های کوچک و بزرگ داشته باشند به شیوه یکسان و غیر عادلانه جریمه می شوند. حتی ممکن است بیمه گذاران برای رهایی از سوابق بدخودشان تصمیم بگیرند شرکت بیمه راترک کنند. در این پایان نامه علاوه بر تعداد ادعا، مقدار ادعا نیز در نظر گرفته می شود همچنین می توان با معرفی و عمال کسورات بر رده های جریمه، حق بیمه های مربوط به آنها را نیز تعدیل کرد.

فرض کنید ‎$G$‎ گرافی ‎$‎ ‎-n$‎راسی و ‎$‎ -‎m $‎یالی با ماکزیمم درجه ‎‎$‎‎\\Delta‎$‎‎، میانگین درجات ‎‎‎‎$‎‎‎\\overline{d}=‎\\frac{2m}{n‎}‎$‎‎‎ و عدد خوشه‌ای ‎‎$‎‎\\omega‎$‎ باشد که دارای طیف لاپلاسین $\\mu_1 \\geq \\mu_2 \\geq\\cdots\\geq ‎\\mu_{n-‎1} \\geq \\mu_n = 0$‎‎است. برای هر ‎‎$‎‎1\\leq k\\leq n‎$‎ قرار دهید$S_k(G)=\\sum_{i=1}^k\\mu_i$‎. همچنین فرض کنید ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ تعداد مقادیر ویژه لاپلاسین بزرگتر یا مساوی ‎‎$‎‎‎\\overline{d}‎$‎‎ باشد. در این پایان‌نامه، کران‌های پایین و بالایی برای ‎‎$‎‎S_{\\omega-1}‎$‎ و ‎‎$‎‎S_\\sigma‎$‎ بر حسب پارامترهای ‎‎‎‎‎$‎‎m,\\Delta,\\omega‎$‎‎ بدست می‌آیند. به عنوان یک کاربرد از این کران‌ها، کران‌هایی برای انرژی لاپلاسین$LE =\\sum_{i=1}^n|\\mu_i-\\frac{2m}{n}|$‎بدست می‌آوریم که از کران‌های قدیمی‌تر بهتر هستند. در بین دیگر نتایج، گراف‌های آستانه‌ای همبند شناسایی می‌شوند. یک نتیجه از نوع نوردهاوز-گادوم برای ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ نیز اثبات می‌شود. در پایان روابط پارامتر ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ با دیگر پارامترهای گرافی ارائه می‌شوند.  

   درسال 1975 اوسلندر-ریتن حدسی را بیان کردند   که به شرح زیر است:  فرض کنیم  ?   ?ک جبرآرت?نی وM یک   R-مدول متناهی مولد باشد همچنین برای هر   i>0  Ext^i_R(M,M+? )=0.    در اینصورت یک مدول پروژکتیو است .  درا?نپا?ان نامهمادوحالتخاص ازحدس اوسلندر?ر?تن رابررسی میکن?م.    . به جای جبرآرتن،حلقه ی موضعی   کوهن?مکالی قرارمیده?م.  کلمات کلیدی دی: حدس اوسلندر-ریتن،حلقه کوهن?مکالی ،حلقه نرمال،حلقه گرنشتاین،مدول آزاد،ا?ده آلبه طورضعیف کامل-   و مدول  Ext .

درا?نپا?اننامهابتدادرفصلاولبهب?انتعاربفمقدماتموردن?ازپرداختهودرفصلدومبهبررس پوچتم?ز R[G] حلقهگروههایپوچتم?زجابهجا?مپرداز?م. درفصلدومثابتمشودکهاگر R[G]،حلقهگروهGو?گروهآبلRپوچتم?زاستون?زبرای?حلقهجابهجا?Rباشدآناه راR?2-گروهتابدارباشدوسپسدرفصلسومGپوچتم?زوRپوچتم?زاستاگروتنهااگر را?گروهدرنظرگرفتهودرموردپوچتم?زبودنحلقهگروههاG?حلقهشرکتپذ?رو?دارو رویحلقههایدلخواهبحثمشودون?زثابتمشود،حلقهگروه،با?2-گروهموضعامتناه R[G] ،اگرR وحلقه G و?حلقهپوچتم?ز،پوچتم?زاست. همچن?نثابتمشودبرایگروه ،?2-گروهاست،ون?زحلقهگروهپوچتوانروی?حلقهدلخواه،Gپوچتم?زباشدآنگاهابرمرکز پوچتم?زاستهرگاهگروهآن?2-گروهوحلقهپوچتم?زباشد.

در این پایان‌نامه، دو کران طیفی برای عدد $-k$استقلال گراف مشخص می‌شود. عدد $-k$استقلال گراف، اندازه بزرگ‌ترین مجموعه‌ای از رئوس گراف است که فاصله هردو راس مجاور آن بزرگ‌تر از $k$ باشد. همچنین ساختار گراف‌هایی را تعیین می‌کنیم که برای کران اول بهینه باشند و نشان می‌دهیم که کران دوم نسبت به کران‌های قبلی برای عدد $-k$استقلال گراف مناسب‌تر است. در دیگر نتایج، کران پایینی نیز، برای عدد رنگی و عدد رنگی کسری گراف، ارائه می‌شود که برحسب اینرسی گراف مشخص می‌شود. همچنین گراف‌هایی بهینه نیز، برای این کران‌ها معرفی می‌کنیم. به‌علاوه، ثابت می‌کنیم که این کران، کران پایینی برای عدد رنگی برداری گراف نمی‌باشد. در پایان، چند نتیجه از نوع نتایج نوردهاوس-گادوم بیان و اثبات می‌شود.

  در این پایان‌نامه با استفاده از روش‌های تغییراتی، وجود جواب‌های ضعیف دو دسته از معادلات بیضوی مرتبه چهارم روی یک دامنه بی‌کران مورد بررسی قرار می‌گیرد‎. برای این‌کار با استفاده از شرایط در نظر گرفته شده، ثابت می‌شود که تابعک انرژی در شرایط پالیس اسمیل صدق می‌کند. سپس با استفاده از شرط آمبروستی-رابینویتز و قضیه گذرگاه کوهستانی متقارن، وجود دو جواب غیر بدیهی برای معادله مورد نظر ثابت می‌شود. همچنین با استفاده از قضیه لیون، تمرکز جواب‌های غیر بدیهی مورد مطالعه قرار می‌گیرد. به‌عنوان یک کاربرد از نتایج بدست آمده، وجود و تمرکز جواب‌های یک معادله بیضوی با قسمت غیرخطی محدب-مقعر اثبات می‌شود. در نهایت با استفاده از قضیه گذرگاه کوهستانی متقارن، وجود بی‌نهایت جواب ضعیف برای یک دستگاه معادلات از نوع شرودینگر-کیرشهف مرتبه چهارم مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حلقه یکدار ‎$R$‎ پوچ تمیز نامیده می‌شود هرگاه هر عضو را بتوان به صورت حاصل جمع یک عضو خودتوان و یک عضو پوچتوان بیان کرد. در این پایان نامه، حلقه‌های پوچ تمیز روی میدان‌ها به طور کامل مشخص می‌شوند. در واقع ثابت می‌کنیم که برای میدان ‎$F$‎ حلقه ماتریسی ‎$M_n(F)$‎ پوچ تمیز است اگر و تنها اگر ‎$F\\cong \\  {Z}_2$‎. به عنوان کاربردی از این موضوع همه گروه ‌های آبلی که حلقه خودریختی‌های آن حلقه‌ای پوچ تمیز است دسته‌بندی می‌شوند. ‎\\\\‎ برای حلقه جابجایی و متناهی ‎$R$‎، گراف پوچ تمیز ‎$G_N(R)$‎ گرافی ساده است که مجموعه رئوس آن اعضای ‎$R$‎ است و دو عضو ‎$a$‎ و ‎$b$‎ با هم مجاور هستند هرگاه ‎$a+b$‎ عضوی پوچ تمیز باشد. در این پایان نامه، ویژگی‌هایی از گراف پوچ تمیز مثل کمر، مجموعه احاطه‌گر، قطر و غیره مورد مطالعه قرار می‌گیرد.  

در این پایان نامه کرانداری وفشردگی عملگرهای انتگرال ریمان-لیوویل روی فضاهای موری را بررسی می کنیم0مشخصه سازی جواب برای معادله انتگرال آبل بدست اورده وباکمک نتایج قضیه نقطه ثابت وجودیکتایی جواب برای مسئله کوشی ثابت خواهد شد  

  چکیده با پیشرفت علم و نیاز روز افزون به امنیت برای تبائل اطلاعات از کانالی امن بیش از هر چیز دیگری بحث رمزنگاری و استفاده آن در ارسال اطلاعات مورد توجه است. هنر رمزنگاری که با توسعه و فراگیر شدن آن به یک علم تبدیل شد شاخه های ریاضی و علوم کامپیوتر است. از دغدغه های مهم مراکز امنیتی می توان به ارسال تصاویر و محفوظ ماندن ان از هر نوع آسیبی اشاره نمود. ما در روند این پایان نامه طرح به اشتراکگذاری امن  دو تصویر را بر اساس پروتکل سه طرفه شامیر دنبال می کنیم که برای این انتقال امن و رمزنگاری آن ابتدا با استفاده از نگاشت تبدیل لجستیک سینوسی به هم ریختگی بین پیکسل ها را ایجاد کرده و سپس با کمک دامنه تبدیل  چند پارامتری کسری گسسته زاویه اس به عنوان تابع رمزنگاری انتقال توسط پروتکل سه طرفه شامیر انجام می پذیرئ. و سپس در ا دامه نیز ایده وارد نمودن تسهیم راز را در روند به اشتراک گذاری دخیل نمودیم و خواهیم دید آیا می توان به اشتراک گذاری ذکر شده را با کمک تسهیم راز نیز انجام داد یا خیر؟

فرض کنید ‎$G$‎ یک گروه متناهی و ‎$\\gamma(G)$‎و‎$l(G)$‎به ترتیب نشان دهنده تعداد کلاس‌های مزدوجی زیرگروه‌هایغیرپوچ‌توان و تعداد کلاس‌های مزدوجی زیرگروه‌های غیرنرمال غیرپوچ‌توان‎$G$‎باشد. در این پایان نامه ثابت می‌کنیم که اگر گروه ‎$G$‎ حل‌پذیر باشد، آنگاه ‎$\\gamma(G) \\geq 2^{|\\pi(G)|‎ -‎2}$‎و اگر ‎$G$‎ غیرحل‌پذیر باشد، آنگاه ‎$\\gamma(G) \\geq |\\pi(G)|‎ +‎1$‎و‎$l(G) \\geq |\\pi(G)|$‎که در آن ‎$|\\pi(G)|$‎تعداد شمارنده‌های اول مرتبه ‎$G$‎ است. همچنین گروه‌هاییرا که حالت تساوی در آنها صادق است را به طور کامل دسته‌بندی می‌کنیم.

فرض کنید ‎$G$‎ گرافی ‎$‎ ‎-n$‎راسی و ‎$‎ -‎m $‎یالی با طیف لاپلاسین ‎$\\mu_1 \\geq \\mu_2 \\geq\\cdots\\geq \\mu_{n-1} \\geq \\mu_n = 0$‎باشد. انرژی لاپلاسین گراف ‎$ G $‎ به ‌صورت ‎$LE =\\sum_{i=1}^n|\\mu_i-\\frac{2m}{n}|$‎ تعریف می‌شود. در این پایان‌نامه، گراف‌هایی که دارای حداکثر چهار مقدار ویژه لاپلاسین متمایز هستند مطالعه می‌شوند. همچنین، ما از این گراف‌ها برای بدست آوردن تعدادی کران بالا و پایین برای انرژی لاپلاسین استفاده می‌کنیم. در دیگر نتایج، به رده‌بندی این گراف‌ها زمانی که دوبخشی یا دارای دقیقاً یک مقدار ویژه لاپلاسین غیر ساده هستند، می‌پردازیم.فرض ‌کنید ‎$ \\sigma $‎ بزرگترین عدد صحیح مثبت باشد، به طوری که ‎$.\\mu_{\\sigma}\\geq \\dfrac{2m}{n}$‎گراف‌هایی که در شرط ‎$ \\sigma =n-1 $‎ صدق می‌کنند رده‌بندی خواهند شد. با استفاده از این مطلب کران‌های پایینی برای ‎$ LE $‎ برحسب ‎$ n $‎ ، ‎$ m $‎ و اولین اندیس زاگرب بدست می‌آوریم.علاوه‌براین، به محاسبه کران بالای ‎$ LE $‎ گراف‌ها برحسب پارامترهای مانند ‎$ n $‎، ‎$ m $‎ ، ماکسیمم درجه، عدد پوششی راسی و عدد بسته درختی می‌پردازیم.در پایان، رابطه‌ای بین انرژی لاپلاسین و شبه انرژی لاپلاسین گراف‌ها می‌یابیم.

فرض کنید ‎$G=(V(G),E(G))$‎ یک گراف ساده‌ی همبند باشد و داشته باشیم ‎ \\leq k \\leq diam(G)$‎. یک ‎$-k$‎رنگ‌آمیزی رادیویی ‎$L$‎ از گراف ‎$G$‎ نگاشتی به‌صورت ‎$L:V(G) \\longrightarrow \\lbrace 0,1,2‎, ‎\\ldots \\rbrace$‎ است به‌طوری که برای هر دو راس متمایز ‎$u$‎ و ‎$v$‎ از ‎$V(G)$‎ داشته باشیم:‎\\begin{eqnarray}\\label{1(saha)}‎‎\\vert L(u)-L(v) \\vert \\geq k+1-d(u,v)‎.‎\\end{eqnarray}‎که در آن ‎$d(u,v)$‎ فاصله‌ی ‎$u$‎ و ‎$v$‎ را نشان می‌دهد. همچنین ظرفیت یک ‎$-k$‎رنگ‌آمیزی رادیویی ‎$L$‎ که با نماد ‎$span(L)$‎ نشان داده می‌شود عبارت است از:‎$span(L)=\\max _{u \\in V(G)} L(u).$‎علاوه بر این عدد ‎$-k$‎رنگی رادیویی گراف ‎$G$‎ که با نماد ‎$rc_{k}(G)$‎ نمایش داده می‌شود، کمترین طول در‌میان همه‌ی ‎$-k$‎رنگ‌آمیزی‌های ‌رادیوییِ گراف ‎$G$‎ است. یعنی داریم:‎$rc_{k}(G)=\\min_{L} span(L).$‎در این پایان‌نامه کران‌های بالا و پایینی برای عدد ‎$-k$‎رنگی رادیویی گراف دلخواه ‎$G$‎ ارائه می‌شود و در مورد بهینگی این کران‌ها بحث می‌شود.همچنین در بعضی از حالت‌ها شرایط لازم و کافی برای برقراری تساوی این کران‌ها ارائه می‌شود. در ادامه به‌عنوان یک کاربرد، کران‌های پایینی را برای دورها، شبکه‌ها، مکعب‌ها و ضرب دکارتی دورها در مسیرها و گراف‌های کامل به‌دست می‌آوریم. عدد صحیح ‎$h$‎ که ‎$GFN2252_FABSTRACT_XMLENCODE# < h < rc_{k} (G)$‎، حفره‌ای در یک ‎$-rc_{k}$‎رنگ‌آمیزی روی ‎$G$‎ است، هرگاه توسط آن به هیچ راسی اختصاص نیافته باشد. در این پایان‌نامه با استفاده از یک خاصیت ترکیبیاتی مرتبط با ‎$k-1$‎ حفره‌های متوالی در هر ‎$rc_{k}$‎رنگ‌آمیزی از یک گراف، گرافی بزرگ‌تر از یک گراف در کلاسی معین ساخته می‌شود. با بهره برداری از همین خاصیت پارامتری جدید از گرافها ارائه می‌شود که شاخص ‎$-(k-1)$‎حفره‌ی گراف ‎$G$‎ نام دارد و با نماد ‎$\\rho _{k} (G)$‎ نمایش داده می‌شود. همچنین چند خاصیت از ‎$\\rho _{k} (G)$‎ از جمله کران بالای آن و رابطه‌ی آن با عدد پوششی مسیری گراف ‎$\\overline{G}$‎ را بررسی می‌کنیم.

در این پایان‌نامه، به معرفی‏ ساختار کدهای گراسمن می‌پردازیم‏، کدهای ویژه‌ای که توسط واریته‌ی گراسمن ساخته می‌شود. باشرح ساختار آن‌ها کدواژه‌های با کم‌ترین وزن آن‌ها را محاسبه و دسته‌بندی می‌کنیم. در این دسته‌بندی خطوطی که در واریته‌ی گراسمنی صدق می‌کنند نقش ویژه‌ای دارند. ‎\\\\ ‎‎ ‏کدهای‎ وابسته به کدهای گراسمن کدهای آفین گراسمن و دوگان آن‌ها هستند. ‎\\\\‎‎‏‎ با نتایج فوق اثبات می‌شود که یک کد دوگان گراسمن توسط کدواژه‌های با کم‌ترین وزن تولید می‌شوند.

در این پایان نامه نخست مفهوم انتگرال کسری ریمانلیویل وانتگرال کسری اردلی کوبر بیان می گردد در ادامه وجود جواب هاب معادلات دیفرانسیل کسری با استفاده از قضایای نقطه ثابت را بررسی می کنیم

بررسی کنترل در فضاهای هیلبرت

طیف لاپلاسین (بدون علامت) گراف‌ها به صورت گسترده‌ای مطالعه شده است. ولی مقدار کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت گراف‌ها و کران‌های بالا و پایین آن، کمتر در نظر گرفته شده است. هدف اصلی این پایان‌نامه بررسی و بهینه‌سازی کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت خانواده‌هایی از گراف‌ها است. گراف همبند ‎$G$‎ را تک‌دوری نامند هرگاه تعداد رئوس و یال‌های آن، با هم برابر باشند. اینجا، گرافی که کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامتش در بین تمام گراف‌های تک‌دوری با مرتبه مشخص، بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد تعیین می‌گردد. همچنین روابط بین کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت گراف‌های همبند ‎$n$-‎راسی و عدد استقلال(عدد پوششی) آنها مطالعه می‌شوند. در دیگر نتایج، گراف‌هایی که در بین تمام گراف‌های غیردوبخشی با عدد استقلال حداقل ‎$\\frac{n-1}{2}$‎ یا عدد پوششی حداکثر ‎$\\frac{n+1}{2}$‎، کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت بزرگتری دارند را تعیین می‌کنیم.

این پایان‌نامه به مطالعه خواص و نمایش‌های تحویل‌ناپذیر جبرهای لایبنیز اختصاص دارد. با استفاده از ابزار لی‌سازی برخی از قضایای اساسی نظریه جبرهای لی مثل قضیه انگل، تجزیه لوی و...به جبرهای لایبنیز تعمیم ‎‎می‌دهیم. همچنین ثابت می‌کنیم که هر نمایش تحویل‌ناپذیر یک جبر لایبنیز از نمایش تحویل‌ناپذیر جبر لی نیم‌ساده‌ای که در تجزیه لوی آن جبر ظاهر می‌شود، بدست می‌آید. به عنوان کاربردی از این قضایا نمایش‌های لایبنیتز تحویل‌ناپذیر ‎sl2‎ را مشخص می‌کنیم

  مسائل مقادیر ویژه در حوزه های علوم و مهندسی دارای کاربردهای فراوانی می باشد، کوچکترین و بزرگترین مقدار ویژه نسبت به سایر مقادیر ویژه معمولا از اهمیت بیشتری برخوردارند. محققان روش های عددی فراوانی برای حل این مسائل ارائه نموده اند. در این پایان نامه مسئله بدست آوردن بزرگترین )کوچکترین( مقدار ویژه ماتریس متقارن حقیقی، به یک مسئله بهینه سازی نامقید تبدیل می گردد. در ادامه بوسیله استفاده از روشهای شبه گرادیان   Barzilai ? Borweinبرای حل مسئله مورد نظر یک الگوریتم مناسب برای یافتن مقادیر ویژه اکسترمم یک ماتریس را مهیا می نمایید. بررسی خواص همگرایی و عددی الگوریتم های ارائه شده موضوعهای بعدی پایان نامه است. نتایج عددی نشان می دهد که این روش برای مسائل آزمون موثر و کارا می باشد.

  در این پایان‌نامه به مقایسه زیرجبرها و ایده‌آل‌های آبلی از بیشترین بعد در کلاس‌هایی از جبرهای لی از بعد متناهی ‎‎ می‌پردازیم. زیرجبرهای بیشین آبلی از جبرهای لی حل‌پذیر را مشخص کرده و جبرهای لی حل‌پذیر که دارای یک زیرجبر آبلی از هم‌بعد ‎$2$‎ هستند را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. همچنین نشان می‌دهیم جبرهای لی پوچ‌توان که دارای یک زیرجبر آبلی از هم‌بعد ‎$‎، ‎$2$‎ یا ‎$3$‎ می‌باشند، شامل یک ایده‌آل آبلی با بعد برابر با آن زیرجبر آبلی‎ نیز هستند.\\\\‎در ادامه ساختار جبرهای لی که دارای یک زیرجبر بیشین مغز آزاد هستند را بررسی کرده و مفهوم تاج و پیش‌تاج را برای یک فاکتور اصلی بیان می‌کنیم.

رمزنگاری دی ان ای شاخه ای جدید از رمزنگاری با بهره گیری از دی ان ای به عنوان یک حامل اطلاعاتی و محاسباتی و به کمک تکنیک ملکولی است. بس?اری ازالور?تمهایجد?درمزنگاری،بهطورکامل?اتاحدیشستهشده اندوجهان امن?ت DNAاط?عاتبرایمحافظتازدادههاوانتقالآنهادرمس?ریجد?دبهنظرمرسد.محاسبات درزم?نهیرمزناریبهعنوانام?دتازهایبرایالور?تمهاینشنمطرحشدهاست. درا?نپا?اننامهدوروشبرایتول?دامضاید?ج?تالباا?نمحاسباتراشرحوموردبررسقرار با?کل?دمتقارنطراحشدهXORوعملDNAمده?م،اول?نروشبااستفادهازکدگذاری استفادهمکند.RSA،واکنشزنج?رهایپل?مرازورمزناریDNAاستوروشدومازکدگذاری

  فرض کنید G یک گراف ساده با مجموعه رئوس V(G)، r یک عدد صحیح نامنفی و باشد. اگر زیرگراف القایی روی S، r-منظم باشد، آنگاه کران‌هایی بالا و پایین برای مجموع مربعات مولفه‌های بردار ویژه اصلی متناظر با رئوس S ارائه می‌شوند. علاوه‌براین یک رده‌بندی طیفی از خانواده‌هایی از گراف‌های شکافته بر حسب شعاع طیفی و مولفه‌های بردار ویژه اصلی متناظر با رئوس متعلق به مجموعه مستقل ماکسیمم بدست می‌آید. یک رنگ‌آمیزی یالی از گراف G با استفاده از اعداد طبیعی، رنگ‌آمیزی یالی جمعی نامیده می‌شود هرگاه رنگ یال‌های واقع بر هر راس گراف G متمایز بوده و مجموع‌شان مینیمم شود. عدد رنگی یالی جمعی گراف G، مجموع رنگ یال‌ها در رنگ‌آمیزی یالی جمعی است. در این پایان‌نامه یک الگوریتم -تقریبی با زمان چندجمله‌ای برای مسئله عدد رنگی یالی جمعی گراف‌های r-منظم با ساخته خواهد شد. در سایر نتایج N-کامل بودن مسئله عدد رنگی یالی جمعی برای گراف‌های دوبخشی و منظم بررسی می‌شود. در پایان تعدادی کران بالا برای عدد رنگی یالی جمعی برخی از گراف‌های شکافته ارائه می‌شود.  

  در این پایان‌‌نامه، مثالی از یک گراف که ایده‌‌آل پوششی آن در خاصیت پایداری و عمق غیرصعودی صدق نمی‌کند ارائه می‌دهیم. علاوه بر این به بررسی گراف‌های کوهن-مکالی دنباله‌ای (که به‌وسیله افزودن ویسکر ایجاد می‌شوند) می‌پردازیم. سپس جداسازی دورهای کزول را معرفی می‌کنیم، با استفاده از آن یک پایه از رده‌های همولوژی دورهای کزول    ارائه می‌شود (     جداسازی ایده‌آل تک‌جمله‌ای I از حلقه چندجمله‌ای S=K[ , … ,   است)؛ تابع عمق توان‌های ایده‌آل‌های یالی گراف‌های ویسکر را مطالعه خواهیم کرد. همچنین به بیان ارتباط بین مفاهیم اندیس پایداری و اندیس پایداری عمق می‌پردازیم؛ درواقع برای گراف متناهی، ساده و همبند G نشان می‌دهیمdstab(I(G)) < l(I(G))   . کران بالایی برای اندیس پایداری عمق یک درخت تعیین می‌کنیم، برا این اساس نشان می‌دهیم برای هر دو عدد 1 ? a <    یک درخت   موجود است که dstab(I(G)) = a و l(I(G))=b.  

  فرض کنید   یک همریختی موضعی یکدست حلقه‌ای،   و   دو -مدول متناهی مولد باشند. اثر متقابل بین خواص یک -مدول و صعود ساختار مدولی تحت یک همریختی موضعی حلقه‌ای را مورد بررسی قرار می‌دهیم. نشان می‌دهیم اگر   برای هر   در   صدق کند (بعنوان مثال اگر روی   متناهی مولد باشد) آنگاه برای هر ،   و   نیز دارای ساختاری S-مدولی سازگار با ساختار R-مدولی‌اش تحت

مسائل مقدار مرزی دارای کاربردهای مهمی در شاخه های مختلف علوم محض و کاربردی شامل فیزیک فضایی، مهندسی ساختمان، بهینه سازی و اقتصاد است. همان طور که می دانید در شرایط خاص می توان جواب عمومی برای یک معادله دیفرانسیل با مشتقات معمولی ارائه کرد‏‏، اما پیدا کردن جواب تحلیلی در حالت کلی امکان پذیر نیست. در اکثر مواقع تنها تقریب جواب های اصلی معادله قابل حصول است. بر این اساس تاکنون دسته عظیمی از روش های عددی برای تقریب مسائل مقدار مرزی ارائه شده است.در این پایان‌نامه ابتدا به طور مختصر مسائل مقدار اولیه و مسائل مقدار مرزی و هم چنین روش‌های تقریبی برای حل آن ها‏، مورد بررسی قرار می‌گیرد. در ادامه با استفاده از چند جمله ای های برنولی و ترکیب روش هسته باز تولید و کمترین مربعات‏، یک روش عددی جدید برای حل مسائل مقدار مرزی ارائه می شود. در پایان نتایج عددی که تایید کننده‌‎‎‏ی مطالب ارائه شده در این پایان نامه است آورده شده است.

در‎ این پایان‌نامه‎،‎ ابتدا وجود و تعدد جواب‌های مثبت یک معادله ‎$ ‎N‎ $‎‎-لاپلاسین در ‎$ ‎‎‎‎\\mathbb{R‎}‎‎‎^{N‎}‎ $‎‎‎‎‎ با قسمت غیرخطی منفرد و نمایی را بررسی می‌کنیم. برای‎‎‎‎‎‎‎ اینکار از روش منیفلد نهاری استفاده می‌کنیم. ابتدا ثابت می‌کنیم که مینیمم‌های موضعی تابعک انرژی روی منیفلد نهاری نقاط بحرانی هستند. سپس منیفلد نهاری را به سه مجموعه متناظر با ماکسیمم‌های موضعی، مینیمم‌های موضعی و نقاط زینی نگاشت‌های تاری تقسیم کرده و مینیمم‌های موضعی تابعک انرژی را روی این مجموعه‌ها می‌یابیم. در بخش بعدی این پایان‌نامه وجود یک جواب نابدیهی برای یک دستگاه معادلات ‎$p‎‎‎‎$-‎‎لاپلاسین در یک دامنه کراندار وتحت شرایط مرزی دیریکله را مطالعه می‌کنیم. ‎برای‎ این مساله ثابت می‌کنیم که تابعک انرژی دارای هندسه گذرگاه کوهستانی است، سپس با استفاده از قضیه نقطه زینی رابینویز و یک تعمیم شرط لانسمن-لیزر وجود یک جواب نابدیهی اثبات می‌شود.